Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(c) x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}=1.
O conteúdo é estudo de superfícies quádricas e vamos usar a forma padrão de elipsoide.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{1^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}}=1,
o que mostra claramente os quadrados dos semi-eixos.

Passo 3

Reconhecemos que a equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com a=b=1 e c=3 define um elipsoide centrado na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Passo 4

Calculamos os interceptos com os eixos coordenados:
x\text{-interceptos: }(\pm1,0,0),\quad y\text{-interceptos: }(0,\pm1,0),\quad z\text{-interceptos: }(0,0,\pm3).

Passo 5

Analisamos as seções planas:
Para cada z fixo,
x^{2}+y^{2}=1-\frac{z^{2}}{9},
é um círculo de raio \sqrt{1-\bigl(\tfrac{z}{3}\bigr)^{2}}. Nas seções pelos planos xz ou yz obtemos elipses de semi-eixos 1 e 3.

Passo 6

Para esboçar, desenhe uma elipse no plano xz com vértices em (\pm1,0) e (0,\pm3) e revolva-a em torno do eixo z. No plano xy a seção em z=0 é um círculo de raio 1.

Resposta

É um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 1 nos eixos x e y e de comprimento 3 no eixo z. O esboço mostra uma “bola” esticada verticalmente, com interceptos em (\pm1,0,0), (0,\pm1,0) e (0,0,\pm3).

Exercícios relacionados