Exercício 15 - Iteração de ponto fixo - aplicação
Considere
e o intervalo
(raiz
).
(a) Mostre que a função de iteração
satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração em
.
(b) Determine a constante de Lipschitz
.
(c) Execute o método a partir de
e organize os resultados em tabela.
(d) Use a estimativa do erro a posteriori
para verificar a precisão obtida.
(a) Mostre que a função de iteração
(b) Determine a constante de Lipschitz
(c) Execute o método a partir de
(d) Use a estimativa do erro a posteriori
Passo 1
O enunciado dá a função de iteração
e o intervalo
. Há uma raiz
de
em
com
. As perguntas são:
(a) Mostrar que satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração em
.
(b) Determinar a constante de Lipschitz .
(c) Executar o método de iteração de ponto fixo a partir de com tolerâncias
e organizar os resultados em tabela.
(d) Usar a estimativa a posteriori para verificar a precisão obtida.
(a) Mostrar que
(b) Determinar a constante de Lipschitz
(c) Executar o método de iteração de ponto fixo a partir de
(d) Usar a estimativa a posteriori
Dados relevantes extraídos do enunciado:
-
. - Intervalo:
. - Ponto inicial:
. - Tolerâncias:
. - Raiz aproximada conhecida:
.
Passo 2
Teoria e ideia do Teorema de Contração (explicação didática).
- Teorema de Banach (Teorema do Ponto Fixo por Contração), versão simples: se
é contínua e existe com tal que então tem um único ponto fixo (isto é, ), e a sequência converge para para qualquer . - Como verificar a condição de Lipschitz de forma prática: se
é diferenciável em e , então a desigualdade Lipschitz vale com essa constante . - Além disso, para estimar o erro, temos a estimativa a posteriori (útil em prova/prática):
Aqui é a mesma constante de Lipschitz. Essa fórmula é muito prática porque usa apenas valores iterados conhecidos.
Passo 3
Verificar que
envia
em si (mostrar
).
- Calcular extremos:
- Como
é contínua e no intervalo seus valores variam entre e , concluímos que . - Portanto
realmente manda o intervalo em si.
Passo 4
Calcular a derivada e obter a constante de Lipschitz (parte (b)).
- Derivada de
: - Em
temos , logo - Assim
e a máxima derivada (em módulo) no intervalo é - Como
, é uma contração em . Isso responde (a) e (b): satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração e .
Comentário didático: a verificação teve duas partes necessárias para aplicar o teorema: (i)
manda
em si (fechado e invariante), (ii) existe
com
. Ambas foram verificadas.
Passo 5
Preparação da iteração e critério de parada (esclarecimento prático).
- Método: iteração de ponto fixo
- Critérios de parada (adotados aqui, padrão prático):
- Critério 1:
. - Critério 2:
, onde .
Iremos parar quando ambos os critérios forem satisfeitos.
- Critério 1:
- Observação útil (para facilitar cálculo): a relação entre
e é Isso permite obter diretamente a partir da diferença , sem recalcular separadamente: Usaremos essa identidade para montar a tabela com menos trabalho numérico.
Passo 6
Executar as iterações (parte (c)). Vou calcular iterativamente, mostrando os cálculos essenciais e arredondando para 9 casas decimais quando conveniente; manterei coerência numérica nos dígitos apresentados.
- Inicial:
.
Iteração 1:
Diferença:
.
Usando :
Usando
Iteração 2:
Diferença:
.
Usando :
Usando
Iteração 3:
Diferença:
.
Usando :
Usando
Iteração 4:
Calcular . Usando os valores anteriores e cubando
(processo mostrado nos cálculos do passo anterior),
Calcular
Diferença:
.
Usando :
Usando
Podemos também calcular
aproximadamente, quer diretamente via
quer usando o passo seguinte
. Estimando
por linearização ou calculando:
logo
Condições de parada:
.
- No passo
: (ainda maior), embora . - No passo
: e . Portanto ambos os critérios são satisfeitos em , e paramos.
Tabela resumida (arredondada para 9 casas decimais quando aplicável):
Observação: os sinais negativos em
indicam que
; aqui mostrei valores aproximados com os algarismos significativos relevantes para as tolerâncias pedidas.
Passo 7
Verificação pela estimativa a posteriori (parte (d)).
- Já determinamos
. Então - A estimativa a posteriori dá, para
, Substituindo , - Conclusão: a estimativa a posteriori garante que a aproximação
obtida pela iteração satisfaz Isso confirma numericamente que a precisão obtida é muito melhor que as tolerâncias pedidas .
Comentário final e incentivo: a sequência convergiu rápido (após 4 iterações já temos uma garantia de erro da ordem de
). O truque de usar
torna a avaliação de
baratinha durante a iteração — memória para a prova! Vai dar certo na sua prova — respira, repete os passos e treina mais alguns exemplos parecidos.
Resposta
(a) Sim.
e
, logo
satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração.
(b)
.
(c) Iterações a partir de
(tolerâncias
): parada em
com
. Tabela dos primeiros termos (resumo):
,
,
,
,
.
(d) Estimativa a posteriori:
, o que confirma que a precisão obtida é melhor que
.