Exercício 15 - Iteração de ponto fixo - aplicação

Considere f(x)=x^{3}-9 x+3 e o intervalo [0,1] (raiz \xi \approx 0,338 ).
(a) Mostre que a função de iteração \varphi(x)=\frac{x^{3}}{9}+\frac{1}{3} satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração em [0,1].
(b) Determine a constante de Lipschitz L=\max _{x \in[0,1]}\left|\varphi^{\prime}(x)\right|.
(c) Execute o método a partir de x_{0}=0,5 \operatorname{com} \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=2 \times 10^{-4} e organize os resultados em tabela.
(d) Use a estimativa do erro a posteriori \left|x_{k}-\xi\right| \leq \frac{L}{1-L}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| para verificar a precisão obtida.

Passo 1

O enunciado dá a função de iteração
\varphi(x)=\frac{x^{3}}{9}+\frac{1}{3}
e o intervalo [0,1]. Há uma raiz \xi de f(x)=x^{3}-9x+3 em [0,1] com \xi\approx0,338. As perguntas são:
(a) Mostrar que \varphi satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração em [0,1].
(b) Determinar a constante de Lipschitz L=\max_{x\in[0,1]}|\varphi'(x)|.
(c) Executar o método de iteração de ponto fixo a partir de x_0=0,5 com tolerâncias \varepsilon_1=\varepsilon_2=2\times10^{-4} e organizar os resultados em tabela.
(d) Usar a estimativa a posteriori |x_k-\xi|\le\frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}| para verificar a precisão obtida.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • \varphi(x)=\dfrac{x^3}{9}+\dfrac{1}{3}.
  • Intervalo: [0,1].
  • Ponto inicial: x_0=\dfrac{1}{2}.
  • Tolerâncias: \varepsilon_1=\varepsilon_2=2\times10^{-4}.
  • Raiz aproximada conhecida: \xi\approx0,338.

Passo 2

Teoria e ideia do Teorema de Contração (explicação didática).
  • Teorema de Banach (Teorema do Ponto Fixo por Contração), versão simples: se \varphi:[a,b]\to[a,b] é contínua e existe L com 0\le L<1 tal que |\varphi(x)-\varphi(y)|\le L|x-y|\quad\text{para todos }x,y\in[a,b],então \varphi tem um único ponto fixo \xi\in[a,b] (isto é, \varphi(\xi)=\xi), e a sequência x_{k+1}=\varphi(x_k) converge para \xi para qualquer x_0\in[a,b].
  • Como verificar a condição de Lipschitz de forma prática: se \varphi é diferenciável em [a,b] e \max_{x\in[a,b]}|\varphi'(x)|\le L<1, então a desigualdade Lipschitz vale com essa constante L.
  • Além disso, para estimar o erro, temos a estimativa a posteriori (útil em prova/prática): |x_k-\xi|\le \frac{L}{1-L}\,|x_k-x_{k-1}| .Aqui L é a mesma constante de Lipschitz. Essa fórmula é muito prática porque usa apenas valores iterados conhecidos.

Passo 3

Verificar que \varphi envia [0,1] em si (mostrar \varphi([0,1])\subset[0,1]).
  • Calcular extremos: \varphi(0)=\frac{0^3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\approx0,3333,
\varphi(1)=\frac{1^3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{4}{9}\approx0,4444.
  • Como \varphi é contínua e no intervalo [0,1] seus valores variam entre \varphi(0)=\tfrac{1}{3} e \varphi(1)=\tfrac{4}{9}, concluímos que \varphi([0,1])\subset\left[\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{9}\right]\subset[0,1].
  • Portanto \varphi realmente manda o intervalo [0,1] em si.

Passo 4

Calcular a derivada e obter a constante de Lipschitz (parte (b)).
  • Derivada de \varphi: \varphi'(x)=\frac{3x^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{3}.
  • Em [0,1] temos 0\le x^{2}\le1, logo 0\le \varphi'(x)\le\frac{1}{3}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
  • Assim |\varphi'(x)|\le \dfrac{1}{3} e a máxima derivada (em módulo) no intervalo é L=\max_{x\in[0,1]}|\varphi'(x)|=\frac{1}{3}.
  • Como L=\tfrac{1}{3}<1, \varphi é uma contração em [0,1]. Isso responde (a) e (b): \varphi satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração e L=\tfrac{1}{3}.
Comentário didático: a verificação teve duas partes necessárias para aplicar o teorema: (i) \varphi manda [0,1] em si (fechado e invariante), (ii) existe L<1 com |\varphi'(x)|\le L. Ambas foram verificadas.

Passo 5

Preparação da iteração e critério de parada (esclarecimento prático).
  • Método: iteração de ponto fixo x_{k+1}=\varphi(x_k)=\frac{x_k^3}{9}+\frac{1}{3}.
  • Critérios de parada (adotados aqui, padrão prático):
    • Critério 1: |x_k-x_{k-1}|\le\varepsilon_1.
    • Critério 2: |f(x_k)|\le\varepsilon_2, onde f(x)=x^3-9x+3.
      Iremos parar quando ambos os critérios forem satisfeitos.
  • Observação útil (para facilitar cálculo): a relação entre f e \varphi é \varphi(x)-x=\frac{x^{3}-9x+3}{9}=\frac{f(x)}{9}\quad\Rightarrow\quad f(x)=9(\varphi(x)-x).Isso permite obter f(x_k) diretamente a partir da diferença x_{k+1}-x_k, sem recalcular x_k^3-9x_k+3 separadamente: f(x_k)=9\,(x_{k+1}-x_k).Usaremos essa identidade para montar a tabela com menos trabalho numérico.

Passo 6

Executar as iterações (parte (c)). Vou calcular iterativamente, mostrando os cálculos essenciais e arredondando para 9 casas decimais quando conveniente; manterei coerência numérica nos dígitos apresentados.
  • Inicial: x_0=\dfrac{1}{2}=0{,}500000000.
Iteração 1:
x_1=\varphi(x_0)=\frac{(1/2)^3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1/8}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1}{72}+\frac{1}{3}=\frac{25}{72}\approx0{,}347222222.
Diferença: |x_1-x_0|=0{,}152777778.
Usando f(x_0)=9(x_1-x_0):
f(x_0)=9\cdot(-0{,}152777778)=-1{,}375000002\approx-1{,}375000000.
Iteração 2:
x_2=\varphi(x_1)=\frac{(25/72)^3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1135369}{3359232}\approx0{,}337984663.
Diferença: |x_2-x_1|=0{,}009237559.
Usando f(x_1)=9(x_2-x_1):
f(x_1)=9\cdot(-0{,}009237559)=-0{,}083138031.
Iteração 3:
x_3=\varphi(x_2)\approx0{,}337623245\quad\text{(computado por }x_3=\tfrac{x_2^3}{9}+\tfrac{1}{3}\text{)}.
Diferença: |x_3-x_2|=0{,}000361418.
Usando f(x_2)=9(x_3-x_2):
f(x_2)=9\cdot(-0{,}000361418)=-0{,}003252762.
Iteração 4:
Calcular x_4=\varphi(x_3). Usando os valores anteriores e cubando x_3 (processo mostrado nos cálculos do passo anterior),
x_4\approx0{,}337609485.
Diferença: |x_4-x_3|=0{,}000013760.
Usando f(x_3)=9(x_4-x_3):
f(x_3)=9\cdot(-0{,}000013760)=-0{,}000123840.
Podemos também calcular f(x_4) aproximadamente, quer diretamente via f(x_4)=x_4^3-9x_4+3 quer usando o passo seguinte x_5=\varphi(x_4). Estimando x_5 por linearização ou calculando:
x_5=\varphi(x_4)\approx0{,}337608962,
logo
f(x_4)=9(x_5-x_4)\approx9\cdot(-0{,}000000523)\approx-0{,}000004707.
Condições de parada: \varepsilon_1=\varepsilon_2=2\times10^{-4}.
  • No passo k=3: |x_3-x_2|=3{,}61418\times10^{-4}>\varepsilon_1 (ainda maior), embora |f(x_3)|\approx1{,}2384\times10^{-4}<\varepsilon_2.
  • No passo k=4: |x_4-x_3|=1{,}3760\times10^{-5}\le\varepsilon_1 e |f(x_4)|\approx4{,}7\times10^{-6}\le\varepsilon_2. Portanto ambos os critérios são satisfeitos em k=4, e paramos.
Tabela resumida (arredondada para 9 casas decimais quando aplicável):
\begin{array}{c|c|c|c} k & x_k & |x_k-x_{k-1}| & f(x_k)=9(x_{k+1}-x_k) \\\ \hline 0 & 0{,}500000000 & - & -1{,}375000000 \\\\ 1 & 0{,}347222222 & 0{,}152777778 & -0{,}083138031 \\\\ 2 & 0{,}337984663 & 0{,}009237559 & -0{,}003252762 \\\\ 3 & 0{,}337623245 & 0{,}000361418 & -0{,}000123840 \\\\ 4 & 0{,}337609485 & 0{,}000013760 & -0{,}000004707 \\\ \end{array}
Observação: os sinais negativos em f(x_k) indicam que f(x_k)<0; aqui mostrei valores aproximados com os algarismos significativos relevantes para as tolerâncias pedidas.

Passo 7

Verificação pela estimativa a posteriori (parte (d)).
  • Já determinamos L=\tfrac{1}{3}. Então \frac{L}{1-L}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.
  • A estimativa a posteriori dá, para k=4, |x_4-\xi|\le\frac{1}{2}\,|x_4-x_3|.Substituindo |x_4-x_3|=0{,}000013760, |x_4-\xi|\le\frac{1}{2}\cdot0{,}000013760=0{,}000006880.
  • Conclusão: a estimativa a posteriori garante que a aproximação x_4 obtida pela iteração satisfaz |x_4-\xi|\le 6{,}88\times10^{-6}.Isso confirma numericamente que a precisão obtida é muito melhor que as tolerâncias pedidas \varepsilon_1=\varepsilon_2=2\times10^{-4}.
Comentário final e incentivo: a sequência convergiu rápido (após 4 iterações já temos uma garantia de erro da ordem de 10^{-6}). O truque de usar f(x)=9(\varphi(x)-x) torna a avaliação de f baratinha durante a iteração — memória para a prova! Vai dar certo na sua prova — respira, repete os passos e treina mais alguns exemplos parecidos.

Resposta

(a) Sim. \varphi([0,1])\subset[0,1] e \max_{x\in[0,1]}|\varphi'(x)|=\tfrac{1}{3}<1, logo \varphi satisfaz as hipóteses do Teorema de Contração.
(b) L=\dfrac{1}{3}.
(c) Iterações a partir de x_0=0{,}5 (tolerâncias \varepsilon_1=\varepsilon_2=2\times10^{-4}): parada em k=4 com
x_4\approx0{,}337609485. Tabela dos primeiros termos (resumo):
x_0=0{,}500000000, x_1\approx0{,}347222222, x_2\approx0{,}337984663, x_3\approx0{,}337623245, x_4\approx0{,}337609485.
(d) Estimativa a posteriori: |x_4-\xi|\le\dfrac{L}{1-L}|x_4-x_3|=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}000013760=6{,}88\times10^{-6}, o que confirma que a precisão obtida é melhor que \,2\times10^{-4}.

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