Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função g, determine: (i) se existe ponto fixo em a, b (use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração x_{k+1}=g\left(x_{k}\right) converge.
g(x)=\cos x, \quad[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função g e o intervalo:
  • g(x)=\cos x definido no intervalo [0,1].
O enunciado pede três coisas:
  1. (i) determinar se existe ponto fixo em [0,1] (usar o Teorema de Brouwer);
  2. (ii) determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração);
  3. (iii) verificar se a iteração x_{k+1}=g(x_k) converge (para pontos iniciais em [0,1]).
Eu vou listar as informações úteis que já aparecem no enunciado:
  • o domínio/intervalo considerado é [0,1];
  • a função é g(x)=\cos x;
  • números trigonométricos úteis que vamos usar: \cos 1 e \sin 1 (onde o argumento 1 está em radianos).

Passo 2

Verificar que g mapeia [0,1] em si mesmo (condição necessária para usar o Teorema de Brouwer).
Teoria rápida (lembrando sem desenvolver ainda a prova): se g([0,1])\subset[0,1] e g é contínua, então o Teorema de Brouwer (no caso unidimensional) garante a existência de ponto fixo.
Agora a verificação concreta: para todo x\in[0,1] vale
\cos 1 \le \cos x \le \cos 0 = 1,
porque a função \cos é decrescente em [0,\pi] e 0\le x\le 1<\pi. Portanto
g([0,1])\subset[\cos 1,1].
Como \cos 1\approx 0{,}5403023059, obtemos [\cos 1,1]\subset[0,1]. Logo g([0,1])\subset[0,1].

Passo 3

Aplicando o Teorema de Brouwer (caso unidimensional/continuidade numa região convexa compacta): como g é contínua em [0,1] e g([0,1])\subset[0,1], existe pelo menos um ponto x^*\in[0,1] tal que
g(x^*)=x^*.
Comentário didático curto sobre o Teorema de Brouwer (no caso de uma dimensão): ele afirma que qualquer função contínua que leva um convexo compacto em si mesmo tem um ponto fixo. Em [0,1] podemos também (na prática) usar o Teorema do Valor Intermediário em conjunto com considerar h(x)=g(x)-x para ver a troca de sinais, mas aqui a hipótese de continuidade e imagem em si já atende ao enunciado.

Passo 4

Agora vamos estudar unicidade usando o Teorema da Contração. Primeiro vamos mostrar que g é uma contração em [0,1].
Ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Médio (TVM). Ele diz que, para g diferenciável, para quaisquer x,y\in[0,1] existe c entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'\text{(c)}\,(x-y).
Tomando valor absoluto:
|g(x)-g(y)|=|g'\text{(c)}|\,|x-y|.
Calcule a derivada de g:
g'(x)=-\sin x.
Para x\in[0,1] temos |g'(x)|=|\,-\sin x\,|=\sin x. Como \sin x é crescente em [0,\pi/2] e 1<\pi/2, o máximo de \sin x em [0,1] é \sin 1. Assim, para todo x,y\in[0,1] existe c com
|g(x)-g(y)|=|g'\text{(c)}|\,|x-y|\le \sin 1\,|x-y|.

Passo 5

Avaliar numericamente a constante encontrada e concluir que é menor que 1.
Sabendo que
\sin 1\approx 0{,}8414709848<1,
podemos definir L=\sin 1. Então para todos x,y\in[0,1] vale
|g(x)-g(y)|\le L\,|x-y|\quad\text{com}\quad L=\sin 1<1.
Isto mostra que g é uma contração em [0,1] com constante de contração L.

Passo 6

Aplicando o Teorema da Contração (Teorema de Banach): numa métrica completa (o intervalo fechado [0,1] com a distância usual é completo), toda aplicação contrativa tem exatamente um ponto fixo e a iteração de Picard x_{k+1}=g(x_k) converge para esse ponto fixo, para qualquer x_0 inicial no conjunto.
Explicando o que isso garante, de forma prática:
  • unicidade: não pode haver dois pontos fixos distintos, porque se houvesse x^*\ne y^* com g(x^*)=x^* e g(y^*)=y^*, então
|x^*-y^*|=|g(x^*)-g(y^*)|\le L|x^*-y^*|
com 0\le L<1, o que força |x^*-y^*|=0, contradição. Logo o ponto fixo é único;
  • convergência: a sequência x_{k+1}=g(x_k) converge para o único ponto fixo x^* para qualquer escolha de x_0\in[0,1]. Além disso há uma estimativa de erro geométrica: para todo k\ge 0,
|x_k-x^*|\le \frac{L^k}{1-L}\,|x_1-x_0|,
mostrando convergência linear com razão aproximada L=\sin 1.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (didático) para sentir a convergência: tome x_0=0.
x_1=\cos 0=1,
x_2=\cos 1\approx 0{,}5403023059,
x_3=\cos(0{,}5403023059)\approx 0{,}8575532158,
x_4=\cos(0{,}8575532158)\approx 0{,}6542897905,
e assim por diante; os termos oscilam e convergem rápido para o ponto fixo único (conhecido numericamente como aproximadamente 0{,}7390851332). Esse cálculo ilustra a convergência prática da iteração.

Resposta

(i) Existe ponto fixo em [0,1].
(ii) O ponto fixo é único.
(iii) A iteração x_{k+1}=g(x_k) converge para esse único ponto fixo para qualquer x_0\in[0,1].

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