Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função
, determine: (i) se existe ponto fixo em
(use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração
converge.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
-
definido no intervalo .
O enunciado pede três coisas:
- (i) determinar se existe ponto fixo em
(usar o Teorema de Brouwer); - (ii) determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração);
- (iii) verificar se a iteração
converge (para pontos iniciais em ).
Eu vou listar as informações úteis que já aparecem no enunciado:
- o domínio/intervalo considerado é
; - a função é
; - números trigonométricos úteis que vamos usar:
e (onde o argumento está em radianos).
Passo 2
Verificar que
mapeia
em si mesmo (condição necessária para usar o Teorema de Brouwer).
Teoria rápida (lembrando sem desenvolver ainda a prova): se
e
é contínua, então o Teorema de Brouwer (no caso unidimensional) garante a existência de ponto fixo.
Agora a verificação concreta: para todo
vale
porque a função
é decrescente em
e
. Portanto
Como
, obtemos
. Logo
.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Brouwer (caso unidimensional/continuidade numa região convexa compacta): como
é contínua em
e
, existe pelo menos um ponto
tal que
Comentário didático curto sobre o Teorema de Brouwer (no caso de uma dimensão): ele afirma que qualquer função contínua que leva um convexo compacto em si mesmo tem um ponto fixo. Em
podemos também (na prática) usar o Teorema do Valor Intermediário em conjunto com considerar
para ver a troca de sinais, mas aqui a hipótese de continuidade e imagem em si já atende ao enunciado.
Passo 4
Agora vamos estudar unicidade usando o Teorema da Contração. Primeiro vamos mostrar que
é uma contração em
.
Ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Médio (TVM). Ele diz que, para
diferenciável, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Tomando valor absoluto:
Calcule a derivada de
:
Para
temos
. Como
é crescente em
e
, o máximo de
em
é
. Assim, para todo
existe
com
Passo 5
Avaliar numericamente a constante encontrada e concluir que é menor que
.
Sabendo que
podemos definir
. Então para todos
vale
Isto mostra que
é uma contração em
com constante de contração
.
Passo 6
Aplicando o Teorema da Contração (Teorema de Banach): numa métrica completa (o intervalo fechado
com a distância usual é completo), toda aplicação contrativa tem exatamente um ponto fixo e a iteração de Picard
converge para esse ponto fixo, para qualquer
inicial no conjunto.
Explicando o que isso garante, de forma prática:
- unicidade: não pode haver dois pontos fixos distintos, porque se houvesse
com e , então
com
, o que força
, contradição. Logo o ponto fixo é único;
- convergência: a sequência
converge para o único ponto fixo para qualquer escolha de . Além disso há uma estimativa de erro geométrica: para todo ,
mostrando convergência linear com razão aproximada
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (didático) para sentir a convergência: tome
.
e assim por diante; os termos oscilam e convergem rápido para o ponto fixo único (conhecido numericamente como aproximadamente
). Esse cálculo ilustra a convergência prática da iteração.
Resposta
(i) Existe ponto fixo em
.
(ii) O ponto fixo é único.
(iii) A iteração converge para esse único ponto fixo para qualquer
.
(ii) O ponto fixo é único.
(iii) A iteração