Exercício 1.31.
Lema 1.2.3:
Sejam r, b \in \mathbb{Z} tais que 0<b e b \leq r. Então, 0 \leq r+(-b) e r+(-b)<r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes hipóteses e pede duas desigualdades para provar:
  • Hipóteses fornecidas:
    • r e b são inteiros, isto é, r,b\in\mathbb{Z}.
    • 0<b.
    • b\le r.
  • O que devemos provar:
    1. 0 \le r+(-b).
    2. r+(-b) < r.

Passo 2

Vamos usar a definição de ordem em \mathbb{Z} e algumas propriedades básicas da adição:
  • Definição útil: b\le r significa que existe um inteiro s com 0\le s tal que
r = b + s.
Expliquei: isso vem do fato de que, entre inteiros, dizer b\le r é o mesmo que dizer que a diferença r-b é um inteiro não negativo; escrevemos essa diferença como s=r-b e então r=b+s com s\ge 0.
  • Propriedades de adição que usarei e que são aceitas:
    • Associatividade e comutatividade: podemos reordenar e agrupar somas sem mudar o resultado.
    • Para todo inteiro x existe o inverso aditivo -x com x+(-x)=0.
    • Monotonicidade da adição: se x<y então x+z<y+z para qualquer inteiro z. Em particular, a partir de 0<b podemos somar s aos dois lados para obter s < s+b.

Passo 3

A partir de b\le r introduzimos o inteiro s com 0\le s tal que
r = b + s.

Passo 4

Calculemos r+(-b) usando a expressão acima e as propriedades de adição:
r+(-b) = (b+s)+(-b).
Usando comutatividade e associatividade podemos reescrever:
(b+s)+(-b) = s + (b+(-b)).
Pelo inverso aditivo temos b+(-b)=0, então
s + (b+(-b)) = s + 0 = s.
Portanto chegamos à igualdade importante
r+(-b) = s.

Passo 5

Agora usamos que s é não negativo ( 0\le s) para obter a primeira desigualdade pedida. Como r+(-b)=s e 0\le s, segue
0 \le r+(-b).

Passo 6

Para a segunda desigualdade, partimos de 0<b. Pela monotonicidade da adição, somando s aos dois lados de 0<b obtemos
s < s + b.
Mas s+b = b+s = r (pela definição de s). Assim
s < r.
Como r+(-b)=s, concluímos
r+(-b) < r.

Passo 7

Resumo final das conclusões (já provadas passo a passo):
  • 0 \le r+(-b).
  • r+(-b) < r.
Uma maneira concreta de ver isso com números: se r=5 e b=2 então r+(-b)=5+(-2)=3, que satisfaz 0\le 3 e 3<5. Isso ilustra a ideia geral provada acima.

Resposta

0 \le r+(-b)
r+(-b) < r

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