Exercício 1.31.
Lema 1.2.3:
Sejam
tais que
e
. Então,
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes hipóteses e pede duas desigualdades para provar:
-
Hipóteses fornecidas:
-
e são inteiros, isto é, . -
. -
.
-
-
O que devemos provar:
-
. -
.
-
Passo 2
Vamos usar a definição de ordem em
e algumas propriedades básicas da adição:
- Definição útil:
significa que existe um inteiro com tal que
Expliquei: isso vem do fato de que, entre inteiros, dizer
é o mesmo que dizer que a diferença
é um inteiro não negativo; escrevemos essa diferença como
e então
com
.
- Propriedades de adição que usarei e que são aceitas:
- Associatividade e comutatividade: podemos reordenar e agrupar somas sem mudar o resultado.
- Para todo inteiro
existe o inverso aditivo com . - Monotonicidade da adição: se
então para qualquer inteiro . Em particular, a partir de podemos somar aos dois lados para obter .
Passo 3
A partir de
introduzimos o inteiro
com
tal que
Passo 4
Calculemos
usando a expressão acima e as propriedades de adição:
Usando comutatividade e associatividade podemos reescrever:
Pelo inverso aditivo temos
, então
Portanto chegamos à igualdade importante
Passo 5
Agora usamos que
é não negativo (
) para obter a primeira desigualdade pedida. Como
e
, segue
Passo 6
Para a segunda desigualdade, partimos de
. Pela monotonicidade da adição, somando
aos dois lados de
obtemos
Mas
(pela definição de
). Assim
Como
, concluímos
Passo 7
Resumo final das conclusões (já provadas passo a passo):
-
. -
.
Uma maneira concreta de ver isso com números: se
e
então
, que satisfaz
e
. Isso ilustra a ideia geral provada acima.