Sejam
com
ou
. Então (justifique como Exercício 2.14),
. Do Teorema 1.3.5 e Proposição 1.3.6, existe
tal que
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dados:
com a\neq 0) ou b\neq 0) (ou seja, não são ambos zero). - Definição importante a usar:
. - O enunciado afirma (e pede justificativa) que
e, por resultados citados (Teorema 1.3.5 e Proposição 1.3.6), que existe tal que .
O objetivo da resolução será justificar passo a passo essa afirmação: mostrar que o conjunto
é não nulo, que possui um menor elemento positivo
, e provar que esse
gera o grupo ideal, isto é, que
. Também vamos identificar
como o máximo divisor comum de
e
e mostrar a identidade de Bézout.
Passo 2
Mostrar que
.
- Pelo que foi dado, pelo menos um entre
e é diferente de zero. - Se
então tomando obtemos , logo o conjunto não é . - Se
então necessariamente ; tomando obtemos , também não nulo. - Conclusão:
.
(Comentário didático: aqui só usamos a definição do conjunto e a hipótese “não ambos zero”.)
Passo 3
Mostrar que
é um subgrupo de
(ou ideal de
).
- Tome quaisquer
. Então existem tais que - A soma é
porque . - O inverso aditivo é
- Portanto
é fechado sob soma e inversos, i.e. é subgrupo de .
(Comentário didático: em
todo subgrupo aditivo é da forma
para algum
; é por isso que os resultados citados no enunciado aplicam-se.)
Passo 4
Existência de um menor elemento positivo
em
.
- Do Passo 2 sabemos que o conjunto não é
, logo existe algum elemento não nulo . - Se
então é um elemento positivo do conjunto. Se então também pertence ao conjunto (pelo Passo 3) e é positivo. - Assim
contém pelo menos um número inteiro positivo. - Pelo Princípio da Boa Ordenação dos inteiros não negativos, o conjunto
tem um menor elemento; denote-o por . Note que .
(Comentário didático: a boa ordenação garante que todo subconjunto não vazio de
tem mínimo; aqui reduzimos ao caso positivo.)
Passo 5
Mostrar que
.
- Pelo Passo 4 temos
. - Sendo
um subgrupo de , ele é fechado sob somas repetidas e inversos, logo para todo temos . - Portanto todos os múltiplos inteiros de
estão em , i.e.
(Comentário didático: subgrupos aditivos de
são fechados sob multiplicação por inteiros.)
Passo 6
Mostrar que
(uso do algoritmo da divisão).
- Seja
. Pelo algoritmo da divisão, ao dividir por existem inteiros com tais que - Observação:
pelo Passo 5, e por hipótese; então pois o conjunto é fechado por subtração. - Mas
é um elemento de com . Pela minimalidade de (Passo 4) isso só é possível se . - Logo
e portanto . - Conclusão:
.
Passo 7
Concluir que
e interpretar
.
- Dos Passos 5 e 6 obtemos a igualdade de conjuntos
com escolhido como o menor elemento positivo de . - Como
e , existe inteiros tais que ou seja, divide e . Portanto é um divisor comum de e . - Se
for qualquer outro divisor comum de e , então para todo tem-se . Em particular porque . Assim todo divisor comum divide . Isso mostra que é, até sinal, o máximo divisor comum. - Como escolhemos
, é precisamente . - Além disso, pela definição de
(estando em ) existem inteiros tais que que é a identidade de Bézout.
(Comentário didático: isto mostra que o gerador positivo do subgrupo
é exatamente o máximo divisor comum, e que ele é combinação linear inteira de
e
.)
Passo 8
Exemplo rápido para fixar a ideia (pequena verificação concreta).
- Tome
. Então . - O menor elemento positivo que aparece é
. Verifica-se e . - Isso ilustra concretamente os passos anteriores.
(Motivação didática: ver um caso numérico ajuda a lembrar que o processo constrói o
e a identidade de Bézout.)