Sejam a, b \in \mathbb{Z} com a \neq 0 ou b \neq 0. Então (justifique como Exercício 2.14), a \mathbb{Z}+b \mathbb{Z} \neq\{0\}. Do Teorema 1.3.5 e Proposição 1.3.6, existe m>0 tal que a \mathbb{Z}+b \mathbb{Z}=m \mathbb{Z}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados: a,b\in\mathbb{Z} com a\neq 0) ou b\neq 0) (ou seja, não são ambos zero).
  • Definição importante a usar: a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z}\}.
  • O enunciado afirma (e pede justificativa) que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\} e, por resultados citados (Teorema 1.3.5 e Proposição 1.3.6), que existe m>0 tal que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}.
O objetivo da resolução será justificar passo a passo essa afirmação: mostrar que o conjunto a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} é não nulo, que possui um menor elemento positivo m, e provar que esse m gera o grupo ideal, isto é, que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}. Também vamos identificar m como o máximo divisor comum de a e b e mostrar a identidade de Bézout.

Passo 2

Mostrar que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\}.
  • Pelo que foi dado, pelo menos um entre a e b é diferente de zero.
  • Se a\neq 0 então tomando x=1,y=0 obtemos a\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}, logo o conjunto não é \{0\}.
  • Se a=0 então necessariamente b\neq 0; tomando x=0,y=1 obtemos b\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}, também não nulo.
  • Conclusão: a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\neq\{0\}.
(Comentário didático: aqui só usamos a definição do conjunto e a hipótese “não ambos zero”.)

Passo 3

Mostrar que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} é um subgrupo de (\mathbb{Z},+) (ou ideal de \mathbb{Z}).
  • Tome quaisquer s_1,s_2\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}. Então existem x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{Z} tais que s_1 = ax_1+by_1,\qquad s_2 = ax_2+by_2.
  • A soma é s_1+s_2 = a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z},porque x_1+x_2,y_1+y_2\in\mathbb{Z}.
  • O inverso aditivo é -s_1 = a(-x_1)+b(-y_1)\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Portanto a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} é fechado sob soma e inversos, i.e. é subgrupo de (\mathbb{Z},+).
(Comentário didático: em \mathbb{Z} todo subgrupo aditivo é da forma m\mathbb{Z} para algum m\ge 0; é por isso que os resultados citados no enunciado aplicam-se.)

Passo 4

Existência de um menor elemento positivo m em a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Do Passo 2 sabemos que o conjunto não é \{0\}, logo existe algum elemento não nulo s\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Se s>0 então s é um elemento positivo do conjunto. Se s<0 então -s>0 também pertence ao conjunto (pelo Passo 3) e é positivo.
  • Assim a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} contém pelo menos um número inteiro positivo.
  • Pelo Princípio da Boa Ordenação dos inteiros não negativos, o conjunto S_+=\{t\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\mid t>0\} tem um menor elemento; denote-o por m. Note que m>0.
(Comentário didático: a boa ordenação garante que todo subconjunto não vazio de \mathbb{N} tem mínimo; aqui reduzimos ao caso positivo.)

Passo 5

Mostrar que m\mathbb{Z}\subseteq a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Pelo Passo 4 temos m\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Sendo a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} um subgrupo de (\mathbb{Z},+), ele é fechado sob somas repetidas e inversos, logo para todo k\in\mathbb{Z} temos km\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Portanto todos os múltiplos inteiros de m estão em a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}, i.e. m\mathbb{Z}\subseteq a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
(Comentário didático: subgrupos aditivos de \mathbb{Z} são fechados sob multiplicação por inteiros.)

Passo 6

Mostrar que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z} (uso do algoritmo da divisão).
  • Seja s\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}. Pelo algoritmo da divisão, ao dividir s por m existem inteiros q,r com 0\le r<m tais que s = qm + r.
  • Observação: qm\in m\mathbb{Z}\subseteq a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} pelo Passo 5, e s\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} por hipótese; então r = s - qm \in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z},pois o conjunto é fechado por subtração.
  • Mas r é um elemento de a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} com 0\le r < m. Pela minimalidade de m (Passo 4) isso só é possível se r=0.
  • Logo s=qm e portanto s\in m\mathbb{Z}.
  • Conclusão: a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}.

Passo 7

Concluir que a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z} e interpretar m.
  • Dos Passos 5 e 6 obtemos a igualdade de conjuntos a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z},com m>0 escolhido como o menor elemento positivo de a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}.
  • Como a\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z} e b\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}, existe inteiros k,\ell tais que a = km,\qquad b=\ell m,ou seja, m divide a e b. Portanto m é um divisor comum de a e b.
  • Se d for qualquer outro divisor comum de a e b, então para todo x,y\in\mathbb{Z} tem-se d\mid(ax+by). Em particular d\mid m porque m\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}. Assim todo divisor comum d divide m. Isso mostra que m é, até sinal, o máximo divisor comum.
  • Como escolhemos m>0, m é precisamente \gcd(a,b).
  • Além disso, pela definição de m (estando em a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}) existem inteiros x_0,y_0 tais que ax_0+by_0=m,que é a identidade de Bézout.
(Comentário didático: isto mostra que o gerador positivo do subgrupo a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} é exatamente o máximo divisor comum, e que ele é combinação linear inteira de a e b.)

Passo 8

Exemplo rápido para fixar a ideia (pequena verificação concreta).
  • Tome a=6,b=15. Então a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\{6x+15y\}.
  • O menor elemento positivo que aparece é m=3. Verifica-se 6\mathbb{Z}+15\mathbb{Z}=3\mathbb{Z} e 3=\;6\cdot(-2)+15\cdot1.
  • Isso ilustra concretamente os passos anteriores.
(Motivação didática: ver um caso numérico ajuda a lembrar que o processo constrói o \gcd e a identidade de Bézout.)

Resposta

a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z} com m>0.
m=\gcd(a,b) e existem x,y\in\mathbb{Z} tais que ax+by=m.

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