Exercício 15. Um livro para o ensino médio apresenta a seguinte “definição”:
Se a \neq 0 e n é um inteiro positivo, definimos a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text { vezes }}.
Valem as seguintes propriedades: a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} e \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
e acrescenta: da definição, podemos concluir que 1=\frac{2^{5}}{2^{5}}=2^{5-5}=2^{0}. Ou seja, 2^{0}=1.
Diante da definição dada e das propriedades apresentadas, essa dedução está correta? Se não, onde está o erro?
Passo 1
O enunciado define para a\neq0 e n inteiro positivo
válidas quando m e n são inteiros positivos. A dedução feita é
1=\frac{2^{5}}{2^{5}}=2^{5-5}=2^{0},
concluindo que 2^{0}=1. Vamos verificar se isso respeita a definição e as hipóteses das propriedades.
Passo 2
Pela definição dada, o expoente só está definido para inteiros positivos, ou seja, para n=1,2,3,\dots. O caso n=0 não faz parte desse domínio original. Logo, antes de atribuir qualquer valor a 2^{0}, precisaríamos estender a definição de potência para o expoente zero.
Passo 3
A propriedade
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
só foi demonstrada (ou definida) para inteiros positivos m e n. Se tentarmos aplicá-la com m=n, obtemos o expoente m-n=0, mas não sabemos, com base na definição, o que significa a^{0}. Portanto, usar essa propriedade para concluir 2^{5-5}=2^{0} é usar a regra fora do seu domínio de validade.
Resposta
A dedução não está correta, pois a definição inicial e as propriedades só valem para expoentes positivos. Aplicar \tfrac{2^{5}}{2^{5}}=2^{5-5} exige conhecer o significado de 2^{0}, mas esse caso não foi definido, logo a regra foi usada indevidamente além do domínio em que foi estabelecida.