Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
A equação m^{2}+n^{2}=447 não tem solução formada por m, n primos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem primos m,n tais que
m^{2}+n^{2}=447.
O conteúdo usado será teoria dos resíduos (aritmética modular) e análise de paridade de primos (eles são ou iguais a 2 ou são ímpares).

Passo 2

Note que todo primo p satisfaz ou p=2 (é o único primo par) ou p é ímpar. Assim, há apenas duas configurações possíveis para (m,n): ambos ímpares ou pelo menos um deles igual a 2.

Passo 3

Suponha m e n ímpares. Então m^{2}\equiv1\pmod{4} e n^{2}\equiv1\pmod{4}, logo
m^{2}+n^{2}\equiv1+1\equiv2\pmod{4}.
Por outro lado,
447=4\cdot111+3\quad\Longrightarrow\quad447\equiv3\pmod{4}.
Como 2\not\equiv3\pmod{4}, não há solução com m,n ímpares.

Passo 4

Suponha que pelo menos um dos primos seja 2.
  • Se m=n=2, então m^{2}+n^{2}=4+4=8\neq447.
  • Se, sem perda de generalidade, m=2 e n\neq2, então
4+n^{2}=447 \quad\Longrightarrow\quad n^{2}=443.
Mas 443 não é quadrado perfeito (entre 21^{2}=441 e 22^{2}=484), logo não existe primo n com n^{2}=443.

Resposta

Não existem primos m,n tais que m^{2}+n^{2}=447.

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