Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
A equação
não tem solução formada por
primos.
A equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem primos
tais que
O conteúdo usado será teoria dos resíduos (aritmética modular) e análise de paridade de primos (eles são ou iguais a 2 ou são ímpares).
Passo 2
Note que todo primo
satisfaz ou
(é o único primo par) ou
é ímpar. Assim, há apenas duas configurações possíveis para
: ambos ímpares ou pelo menos um deles igual a 2.
Passo 3
Suponha
e
ímpares. Então
e
, logo
Por outro lado,
Como
, não há solução com
ímpares.
Passo 4
Suponha que pelo menos um dos primos seja
.
- Se
, então . - Se, sem perda de generalidade,
e , então
Mas
não é quadrado perfeito (entre
e
), logo não existe primo
com
.
Resposta
Não existem primos
tais que
.