Exercício 16 (E.M.4.1)
Seja ( ) um espaço métrico. Sejam tais que e . Mostre que é uma cisão se, e somente se, , ou seja, se , então e se , então .
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço métrico e dois subconjuntos tais que
e
Queremos mostrar que essa decomposição é uma cisão (isto é, e são abertos disjuntos que cobrem ) se, e somente se,
Em seguida, vamos usar a caracterização métrica da aderência para ver que isso equivale a forall,xin X:d(x,Y)>0 e forall,yin Y:d(y,X)>0.
Passo 2
Suponha que M=Xcup Y seja uma cisão. Por definição, X e Y são abertos e disjuntos. Como Y é aberto, Msetminus Y = X é fechado, logo
overline X = X,
e, portanto,
overline X cap Y ;=; Xcap Y ;=;emptyset
De modo análogo, como X é aberto, Msetminus X=Y é fechado, temos
overline Y = Y Longrightarrow Xcap overline Y = Xcap Y = emptyset
Isso prova a direção “cisão implies interseções de aderências vazias”.
Passo 3
Agora suponha que
Xcap overline Y=emptyset e overline Xcap Y=emptyset
Tomemos xin X. Então xnotinoverline Y, o que significa, pela definição métrica de aderência, que
d(x,Y)=infyin Yd(x,y)>0
Logo existe de<a>0 tal que a bola aberta B(x,de<a) não encontra Y, ou seja B(x,de<a)subset X. Isso prova que X é aberto. Analogamente, qualquer yin Y satisfaz d(y,X)>0, daí Y é aberto. Como X e Y são abertos, disjuntos e cobrem M, concluímos que M=Xcup Y é uma cisão.
Passo 4
Basta lembrar que, em qualquer espaço métrico, a aderência de um conjunto A é