Exercício 16 (E.M.4.1)
Seja ( M, d ) um espaço métrico. Sejam X, Y subset M tais que M=X cup Y e X cap Y=emptyset. Mostre que M=X cup Y é uma cisão se, e somente se, X cap barY=barX cap Y=emptyset, ou seja, se x in X, então d(x, Y)>0 e se y in Y, então d(y, X)>0.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço métrico (M,d) e dois subconjuntos X,Ysubset M tais que
M=Xcup Y
e
Xcap Y=emptyset
Queremos mostrar que essa decomposição é uma cisão (isto é, X e Y são abertos disjuntos que cobrem M) se, e somente se,
Xcap overline Y=emptyset e overline Xcap Y=emptyset
Em seguida, vamos usar a caracterização métrica da aderência para ver que isso equivale a
forall,xin X:d(x,Y)>0 e forall,yin Y:d(y,X)>0.

Passo 2

Suponha que M=Xcup Y seja uma cisão. Por definição, X e Y são abertos e disjuntos. Como Y é aberto, Msetminus Y = X é fechado, logo
overline X = X,
e, portanto,
overline X cap Y ;=; Xcap Y ;=;emptyset
De modo análogo, como X é aberto, Msetminus X=Y é fechado, temos
overline Y = Y Longrightarrow Xcap overline Y = Xcap Y = emptyset
Isso prova a direção “cisão implies interseções de aderências vazias”.

Passo 3

Agora suponha que
Xcap overline Y=emptyset e overline Xcap Y=emptyset
Tomemos xin X. Então xnotinoverline Y, o que significa, pela definição métrica de aderência, que
d(x,Y)=infyin Yd(x,y)>0
Logo existe de<a>0 tal que a bola aberta B(x,de<a) não encontra Y, ou seja B(x,de<a)subset X. Isso prova que X é aberto. Analogamente, qualquer yin Y satisfaz d(y,X)>0, daí Y é aberto. Como X e Y são abertos, disjuntos e cobrem M, concluímos que M=Xcup Y é uma cisão.

Passo 4

Basta lembrar que, em qualquer espaço métrico, a aderência de um conjunto A é
overline A ;=;,pin Mmid d(p,A)=0,
onde
d(p,A)=infain Ad(p,a)
Portanto
Xcapoverline Y=emptyset Long<=ftrightarrow forall,xin X:;d(x,Y)>0,
e
overline Xcap Y=emptyset Long<=ftrightarrow forall,yin Y:;d(y,X)>0

Resposta

M=Xcup Y é uma cisão se, e somente se
Xcap overline Y=emptyset e overline Xcap Y=emptyset,
o que, em espaço métrico, equivale a
forall,xin X:;d(x,Y)>0 e forall,yin Y:;d(y,X)>0

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