Exercício 15. Mostre que se a, b, c, d forem inteiros positivos, então teremos
\frac{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right)\left(d^{2}+1\right)}{a b c d} \geq 16 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a,b,c,d inteiros positivos, vale a desigualdade
\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)}{a b c d}\ge16.
O conteúdo envolvido é desigualdade em produtos e usaremos uma forma simples de AM–GM (ou completar quadrado) em cada fator.

Passo 2

Mostramos primeiro que, para qualquer inteiro positivo x,
x^2+1\ge2x.
De fato, isso é equivalente a
x^2-2x+1\ge0
ou seja
(x-1)^2\ge0,
o que é sempre verdade.

Passo 3

Aplicando essa desigualdade aos quatro números a,b,c,d, obtemos simultaneamente
a^2+1\ge2a,\quad b^2+1\ge2b,\quad c^2+1\ge2c,\quad d^2+1\ge2d.

Passo 4

Multiplicando as quatro desigualdades acima, resulta
(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\ge(2a)(2b)(2c)(2d)=16\,a b c d.
Dividindo ambos os lados por a b c d, concluímos
\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)}{a b c d}\ge16.

Resposta

\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)}{a b c d}\ge16.

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