Exercício 15. Mostre que se
forem inteiros positivos, então teremos
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para
inteiros positivos, vale a desigualdade
O conteúdo envolvido é desigualdade em produtos e usaremos uma forma simples de AM–GM (ou completar quadrado) em cada fator.
Passo 2
Mostramos primeiro que, para qualquer inteiro positivo
,
De fato, isso é equivalente a
ou seja
o que é sempre verdade.
Passo 3
Aplicando essa desigualdade aos quatro números
, obtemos simultaneamente
Passo 4
Multiplicando as quatro desigualdades acima, resulta
Dividindo ambos os lados por
, concluímos