Exercício 44. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 3, calcule um valor aproximado de:
(a) \ln (1.3)
(b) \sqrt[3]{8.2}

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o polinômio de Taylor de ordem 3 para aproximar (a) \ln(1,3) e (b) \sqrt[3]{8,2}.
O que vamos usar: a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de um ponto a,
P_3(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3,
escolhendo a de modo a facilitar os cálculos.

Passo 2

Para (a), considere f(x)=\ln x centrada em a=1. Então x=1+0,3. Calculamos as derivadas em 1:
f(1)=0,\quad f'(x)=\frac1x\;\Rightarrow\;f'(1)=1,\quad f''(x)=-\frac1{x^2}\;\Rightarrow\;f''(1)=-1,\quad f'''(x)=\frac{2}{x^3}\;\Rightarrow\;f'''(1)=2.
O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 1 é
P_3(1+0,3)=0+1\cdot(0,3)+\frac{-1}{2!}(0,3)^2+\frac{2}{3!}(0,3)^3.

Passo 3

Agora só falta calcular numericamente:
0,3-\frac{(0,3)^2}{2}+\frac{2\,(0,3)^3}{6} =0,3-\frac{0,09}{2}+\frac{2\cdot0,027}{6} =0,3-0,045+0,009 =0,264.
Logo \ln(1,3)\approx0,264.

Passo 4

Para (b), considere g(x)=x^{1/3} centrada em a=8. Então x=8+0,2. As derivadas em 8 são:
g(8)=2,\quad g'(x)=\tfrac13x^{-2/3}\;\Rightarrow\;g'(8)=\tfrac1{12},\quad g''(x)=-\tfrac{2}{9}x^{-5/3}\;\Rightarrow\;g''(8)=-\tfrac1{144},\quad g'''(x)=\tfrac{10}{27}x^{-8/3}\;\Rightarrow\;g'''(8)=\tfrac{10}{6912}.
O polinômio de ordem 3 em torno de 8 é
P_3(8+0,2)=2+\frac1{12}(0,2)+\frac{-1/144}{2}(0,2)^2+\frac{10/6912}{6}(0,2)^3.

Passo 5

Cálculo numérico:
2+\frac{0,2}{12}-\frac{(0,2)^2}{288}+\frac{10\,(0,2)^3}{41592} =2+0,0166667-0,0001389+0,0000019 \approx2,0165297.
Logo \sqrt[3]{8,2}\approx2,01653.

Resposta

(a) \ln(1,3)\approx0,264
(b) \sqrt[3]{8,2}\approx2,01653

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