Exercício 43. Seja n \in \mathbb{N}. Justifique a validade e estime o erro cometido na aproximação
e \approx 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}
por sua soma parcial
S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}
e então justificar que essa aproximação é válida (isto é, a série converge para e) e estimar o erro
R_n = e - S_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Para isso, vamos usar o teste da razão para convergência da série e em seguida majorar a cauda por uma série geométrica.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à série \sum_{k=0}^{\infty}1/k!, considere
a_k = \frac{1}{k!}.
Então
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{1/(k+1)!}{1/k!} = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1} = 0 < 1.
Isso mostra que a série converge absolutamente, logo converge para algum valor finito, que por definição é e.

Passo 3

Definimos o erro da aproximação pela soma parcial até n como
R_n = e - S_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Note que todos os termos dessa soma são positivos, então basta encontrar uma série maior (mais simples) que nos forneça um limite superior para R_n.

Passo 4

Para k\ge n+1, temos
\frac{1}{k!} \le \frac{1}{(n+1)!} \biggl(\frac{1}{n+2}\biggr)^{\,k-(n+1)},
pois cada fator extra no fatorial é pelo menos (n+2). Assim
R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \le \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}\biggl(\frac{1}{n+2}\biggr)^{m} = \frac{1}{(n+1)!}\,\frac{1}{1 - \tfrac{1}{n+2}}.
Como
\frac{1}{1 - \tfrac{1}{n+2}} = \frac{n+2}{n+1} \;=\;\frac{1}{n!}\,\frac{1}{n},
segue que
R_n \le \frac{1}{(n+1)!}\,\frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{n!\,n}.

Passo 5

Concluímos, portanto, que a série converge e a aproximação
e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}
incorre um erro R_n que satisfaz
0 < R_n < \frac{1}{n!\,n}.

Resposta

O valor aproximado de e dado por
S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}
é válido pois a série converge (teste da razão). O erro da aproximação é
R_n = e - S_n < \frac{1}{n!\,n}.

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