Exercício 43. Seja
. Justifique a validade e estime o erro cometido na aproximação
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
por sua soma parcial
e então justificar que essa aproximação é válida (isto é, a série converge para
) e estimar o erro
Para isso, vamos usar o teste da razão para convergência da série e em seguida majorar a cauda por uma série geométrica.
Passo 2
Aplicando o teste da razão à série
, considere
Então
Isso mostra que a série converge absolutamente, logo converge para algum valor finito, que por definição é
.
Passo 3
Definimos o erro da aproximação pela soma parcial até
como
Note que todos os termos dessa soma são positivos, então basta encontrar uma série maior (mais simples) que nos forneça um limite superior para
.
Passo 4
Para
, temos
pois cada fator extra no fatorial é pelo menos
. Assim
Como
segue que
Passo 5
Concluímos, portanto, que a série converge e a aproximação
incorre um erro
que satisfaz
Resposta
O valor aproximado de
dado por
é válido pois a série converge (teste da razão). O erro da aproximação é