Exercício 22. Um jardim retangular de 50 m^{2} de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento?

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um jardim retangular de área fixa de 50\,\text{m}^2 que deve ser cercado em três lados, pois o quarto lado já está protegido por uma parede de celeiro. O conteúdo é otimização de uma função com restrição usando derivadas.

Passo 2

Vamos definir as variáveis:
x = comprimento do lado paralelo ao celeiro (sem cerca)
y = profundidade (lados que precisam ser cercados)
A restrição de área é
x\,y = 50\,\text{m}^2.

Passo 3

O comprimento total da cerca é a soma de um lado de comprimento x e de dois lados de comprimento y:
L = x + 2y.
Como x = \frac{50}{y}, substituímos para obter
L(y) = \frac{50}{y} + 2y.

Passo 4

Para minimizar L(y), calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(y) = -\frac{50}{y^2} + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2 = \frac{50}{y^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad y = 5\,\text{m}.

Passo 5

Verificamos que
L''(y) = \frac{100}{y^3} > 0 \quad\text{para }y>0,
logo y=5\,\text{m} é mínimo. Então
x = \frac{50}{y} = \frac{50}{5} = 10\,\text{m}.

Resposta

As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são
10\,\text{m} de comprimento ao longo da parede do celeiro e
5\,\text{m} de profundidade.

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