Exercício 22. Um jardim retangular de
de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento?
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um jardim retangular de área fixa de
que deve ser cercado em três lados, pois o quarto lado já está protegido por uma parede de celeiro. O conteúdo é otimização de uma função com restrição usando derivadas.
Passo 2
Vamos definir as variáveis:
comprimento do lado paralelo ao celeiro (sem cerca)
profundidade (lados que precisam ser cercados)
A restrição de área é
A restrição de área é
Passo 3
O comprimento total da cerca é a soma de um lado de comprimento
e de dois lados de comprimento
:
Como
, substituímos para obter
Passo 4
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos que
logo
é mínimo. Então
Resposta
As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são
de comprimento ao longo da parede do celeiro e
de profundidade.