Exercício 16 Calcule o determinante da matriz
B=[ccccc lambda & lambda & lambda & ldots & lambda 1 & lambda+1 & 1 & ldots & 1 1 & 1 & lambda+1 & ldots & 1 vdots & vdots & vdots & vdots & vdots 1 & 1 & 1 & 1 & lambda+1 ]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz BinR^ntimes n dada por
B= lambda & lambda & lambda & cdots & lambda 1 & lambda+1 & 1 & cdots & 1 1 & 1 & lambda+1 & cdots & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & 1 & 1 & cdots & lambda+1
O conteúdo central é cálculo de determinante usando operações elementares de linhas e colunas, lembrando que somar múltiplos de uma linha (ou coluna) a outra não altera o valor do determinante.

Passo 2

Para cada
que preserva . Após isso a primeira linha continua , e para cada a nova linha tem entrada
Ou seja, o bloco de linhas é a matriz
onde é a matriz de uns e a identidade.

Passo 3

Agora para cada j=2,dots,n fazemos a coluna
Colunaj;long<=ftarrow;Colunaj-Coluna1,
também sem alterar det. O efeito é:
  • Na primeira linha surgem 0 em todas as colunas 2 a n.
  • No bloco de linhas 2 a n e colunas 2 a n cada entrada fica
(1-lambda)- (1-lambda+lambda)+lambda =lambda,
ou seja, formam lambda,In-1.
  • A primeira coluna final é (lambda,;1-lambda,dots,1-lambda)^T.

Passo 4

O resultado é uma matriz de aspecto
lambda & 0 & cdots & 0 * & lambda& & 0 vdots & & ddots & vdots * & 0 & cdots & lambda ,
isto é, triangular por blocos, cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(B)=lambda;times;underbracelambdacdotldotscdotlambdan-1 vezes =lambda^n

Resposta

lambda^n

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