Exercício 1.5.15. Uma partícula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1 cm para esquerda ou para direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos terminando na posição de partida.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula faz 10 movimentos de 1 cm à esquerda ou à direita e queremos saber de quantas maneiras diferentes ela pode terminar de volta à posição inicial. O conteúdo aqui é contagem de sequências binárias com deslocamentos simétricos, e vamos usar combinatória e coeficiente binomial.

Passo 2

Representamos cada movimento por +1 (passo à direita) ou -1 (passo à esquerda). Se em 10 movimentos houver r passos à direita e 10-r à esquerda, o deslocamento total é
r - (10 - r) = 2r - 10
Para voltar ao ponto de partida precisamos que esse deslocamento seja zero.

Passo 3

Impondo 2r - 10 = 0 obtemos
r = 5
Isto é, a sequência deve ter exatamente 5 passos à direita e 5 passos à esquerda.

Passo 4

O número de maneiras de escolher quais 5 dentre os 10 movimentos são à direita é dado pelo coeficiente binomial
binom105 = 10!5!,5! = 252

Resposta

252

Exercícios relacionados