Exercício 1.5.15. Uma partícula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1 cm para esquerda ou para direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos terminando na posição de partida.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula faz 10 movimentos de 1 cm à esquerda ou à direita e queremos saber de quantas maneiras diferentes ela pode terminar de volta à posição inicial. O conteúdo aqui é contagem de sequências binárias com deslocamentos simétricos, e vamos usar combinatória e coeficiente binomial.
Passo 2
Representamos cada movimento por
(passo à direita) ou
(passo à esquerda). Se em 10 movimentos houver
passos à direita e
à esquerda, o deslocamento total é
Para voltar ao ponto de partida precisamos que esse deslocamento seja zero.
Passo 3
Impondo
obtemos
Isto é, a sequência deve ter exatamente 5 passos à direita e 5 passos à esquerda.
Passo 4
O número de maneiras de escolher quais 5 dentre os 10 movimentos são à direita é dado pelo coeficiente binomial