- Exercício 15.3, Questão 17: Calcule a integral dupla
, onde
é limitado pelo círculo de centro na origem e raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de raio
centrado na origem. O conteúdo é integrais duplas em região simétrica e podemos usar argumentos de simetria (ou coordenadas polares) para simplificar.
Passo 2
Separemos a integral em duas:
Passo 3
Como
é simétrico em relação ao eixo
, a função
é ímpar nessa simetria. Logo
e portanto
Passo 4
De modo análogo,
é simétrico em relação ao eixo
, e
é ímpar nessa simetria, de modo que
Passo 5
Somando as partes obtidas: