1. Exercício 15.3, Questão 17: Calcule a integral dupla \int_{D}(2 x-y) d A, onde D é limitado pelo círculo de centro na origem e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(2x - y)\,dA
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo é integrais duplas em região simétrica e podemos usar argumentos de simetria (ou coordenadas polares) para simplificar.

Passo 2

Separemos a integral em duas:
\iint_{D}(2x - y)\,dA = 2\iint_{D}x\,dA \;-\;\iint_{D}y\,dA.

Passo 3

Como D é simétrico em relação ao eixo y, a função x é ímpar nessa simetria. Logo
\iint_{D}x\,dA = 0,
e portanto
2\iint_{D}x\,dA = 2\cdot 0 = 0.

Passo 4

De modo análogo, D é simétrico em relação ao eixo x, e y é ímpar nessa simetria, de modo que
\iint_{D}y\,dA = 0.

Passo 5

Somando as partes obtidas:
2\iint_{D}x\,dA \;-\;\iint_{D}y\,dA = 0 - 0 = 0.

Resposta

0

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