1. Exercício 15.2, Questão 4.1: Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(4- x-2 y) d x d y.

Passo 1

Resumindo, queremos esboçar o sólido cujo volume é dado pela região
\{(x,y,z)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1,\;0 \le z \le 4 - x - 2y\}.
Aqui o conteúdo é visualização de sólidos definidos por uma superfície (o plano z=4 - x - 2y) sobre um domínio no plano xy.

Passo 2

A base do sólido é o quadrado no plano z=0 com vértices
(0,0,0),\quad(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(1,1,0),
e o topo é a superfície z=4 - x - 2y restrita a esse quadrado. Cada ponto (x,y) no quadrado gera um segmento vertical de altura 4 - x - 2y.

Passo 3

Para desenhar o topo, calculamos z nos quatro cantos do quadrado:
z(0,0)=4,\quad z(1,0)=3,\quad z(0,1)=2,\quad z(1,1)=1.
Assim, a face superior é um paralelogramo com vértices
(0,0,4),\;(1,0,3),\;(0,1,2),\;(1,1,1).

Passo 4

No esboço faça o seguinte:
  1. Desenhe os eixos x, y (no plano horizontal) e z (vertical).
  2. Marque o quadrado de base em z=0.
  3. Eleve cada um dos quatro vértices da base até as alturas calculadas, desenhando o paralelogramo de topo.
  4. Conecte arestas correspondentes da base e do topo, formando as faces laterais retangulares.

Resposta

O sólido é o poliedro limitado abaixo pelo plano z=0, acima pelo plano z=4 - x - 2y e lateralmente pelas retas x=0, x=1, y=0, y=1. A base é o quadrado [0,1]\times[0,1] em z=0 e o topo é o paralelogramo cujos vértices são (0,0,4), (1,0,3), (0,1,2) e (1,1,1).

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