resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
x e^{2 y} \frac{d y}{d x}+e^{2 y}=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x\,e^{2y}\,\frac{dy}{dx}+e^{2y}=\frac{\ln x}{x}
usando uma substituição apropriada. Vamos reconhecer que, se fizermos u=e^{2y}, transformaremos a equação numa equação linear em u(x).

Passo 2

Definimos
u = e^{2y}.
Diferenciando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2\,e^{2y}\,\frac{dy}{dx} = 2u\,\frac{dy}{dx},
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e^{2y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
x\Bigl(\tfrac12\frac{du}{dx}\Bigr)+u=\frac{\ln x}{x}.
Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
x\,\frac{du}{dx}+2u = \frac{2\ln x}{x}.

Passo 4

Essa é uma equação linear na forma
\frac{du}{dx}+\frac{2}{x}\,u=\frac{2\ln x}{x^2}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{2}{x}\,dx\Bigr)=x^2.

Passo 5

Multiplicando a equação inteira por x^2, obtemos
x^2\frac{du}{dx}+2x\,u = 2\ln x.
O lado esquerdo é \frac{d}{dx}(x^2u), portanto
\frac{d}{dx}(x^2u)=2\ln x.
Integrando em x,
x^2u = \int 2\ln x\,dx = 2\bigl(x\ln x - x\bigr)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à substituição u=e^{2y},
e^{2y} = u = \frac{2x\ln x - 2x + C}{x^2}.

Passo 7

Por fim, resolvemos para y:
2y = \ln\!\bigl(2x\ln x - 2x + C\bigr) - 2\ln x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(2x\ln x - 2x + C\bigr) \;-\;\ln x.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{2}\,\ln\!\bigl(2x\ln x - 2x + C\bigr)\;-\;\ln x,\quad C\in\mathbb{R}.}

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