resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
x e^{2 y} \frac{d y}{d x}+e^{2 y}=\frac{\ln x}{x}
x e^{2 y} \frac{d y}{d x}+e^{2 y}=\frac{\ln x}{x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando uma substituição apropriada. Vamos reconhecer que, se fizermos
, transformaremos a equação numa equação linear em
.
Passo 2
Definimos
Diferenciando em relação a
,
logo
Passo 3
Substituindo na equação original, temos
Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
Passo 4
Essa é uma equação linear na forma
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a equação inteira por
, obtemos
O lado esquerdo é
, portanto
Integrando em
,
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando à substituição
,
Passo 7
Por fim, resolvemos para
: