Exercício 15. (F. 4.2, ex.1) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O enunciado propõe a equação do calor unidimensional em
(0,l) com coeficiente de difusão
k>0 , sujeita a
às condições de contorno homogêneas
e à condição inicial
Vamos usar o método de separação de variáveis para expandir
u(t,x) em modos que respeitem essas condições de contorno.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na equação do calor divide por
k,T,X , obtemos
onde
lambda é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
Passo 3
Resolvendo o problema de autovalor para
X com
temos solução não-trivial se
Logo
Passo 4
A equação temporal para cada modo é
cuja solução é
Passo 5
A solução geral, somando todos os modos, é
Passo 6
Impondo a condição inicial
u(0,x)=50 , obtemos a série de Fourier seno:
Os coeficientes são
Como
integral0^lsin^2(cdot),dx=l/2 e
integral0^lsin(tfrac(2n-1)pi2lx),dx=tfrac1mun com
mun=tfrac(2n-1)pi2l , resulta