Exercício 15. (F. 4.2, ex.1) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=partial upartial x(t, l)=0, t>infty u(0, x)=50, forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado propõe a equação do calor unidimensional em (0,l) com coeficiente de difusão k>0, sujeita a
partial upartial t(t,x)=k,partial^2 upartial x^2(t,x),
às condições de contorno homogêneas
u(t,0)=0, partial upartial x(t,l)=0,
e à condição inicial
u(0,x)=50
Vamos usar o método de separação de variáveis para expandir u(t,x) em modos que respeitem essas condições de contorno.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(t,x)=T(t),X(x)
Substituindo na equação do calor divide por k,T,X, obtemos
1k,T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
X''(x)+lambda,X(x)=0, T'(t)+k,lambda,T(t)=0

Passo 3

Resolvendo o problema de autovalor para X com
X(0)=0, X'(l)=0,
temos solução não-trivial se
cosl(raizlambda,lr)=0 ;Longrightarrow;raizlambdan,l=(2n-1)pi2,;n=1,2,dots
Logo
lambdan=l(tfrac(2n-1)pi2lr)^2, Xn(x)=sin!l(tfrac(2n-1)pi2lxr)

Passo 4

A equação temporal para cada modo é
Tn'(t)+k,lambdan,Tn(t)=0,
cuja solução é
Tn(t)=Cn exp!l(-k,lambdan,tr)

Passo 5

A solução geral, somando todos os modos, é
u(t,x)=sumn=1^inftyCn exp!l(-k,lambdan,tr), sin!l(tfrac(2n-1)pi2l,xr)

Passo 6

Impondo a condição inicial u(0,x)=50, obtemos a série de Fourier seno:
50=sumn=1^inftyCn, sin!l(tfrac(2n-1)pi2l,xr)
Os coeficientes são
Cn =2integral0^lsin^2!l(tfrac(2n-1)pi2lxr),dx integral0^l50, sin!l(tfrac(2n-1)pi2lxr),dx
Como integral0^lsin^2(cdot),dx=l/2 e
integral0^lsin(tfrac(2n-1)pi2lx),dx=tfrac1mun com mun=tfrac(2n-1)pi2l, resulta
Cn =2l/2;50;1mun =100l,mun =200(2n-1)pi

Resposta

boxed u(t,x) =sumn=1^infty 200(2n-1)pi exp!l[-,kl(tfrac(2n-1)pi2lr)^!2tr] sin!l(tfrac(2n-1)pi2lxr)

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