Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
(a) Mostre que o ponto
é um ponto singular regular da EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Dada a EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDOLH
e pede: (a) mostrar que
é ponto singular regular, (b) encontrar uma solução pelo método de Frobenius e (c) indicar a forma da segunda solução linearmente independente. Vamos usar o método de Frobenius, que consiste em assumir uma série do tipo
e determinar o expoente
pela equação indicial, depois uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
:
Logo
Para ser ponto singular regular em
precisamos que
e
sejam analíticos em
. De fato,
ambos se expandem em séries de potências em torno de
. Portanto
é ponto singular regular.
Passo 3
Assumimos
e substituímos em cada termo da EDOLH, coletando potências de
. O coeficiente do menor expoente
dá a equação indicial
Resolvendo,
isto é
Passo 4
Para
obtemos a relação de recorrência, após alinhar as potências,
cujo denominador simplifica para
. Logo
A primeira solução fica
com
arbitrário (por exemplo
) e
dado acima.
Passo 5
A segunda raiz
gera outra solução linearmente independente pela mesma construção de Frobenius. Assim,
onde os coeficientes
satisfazem uma relação de recorrência análoga à de
, mas com
.
Resposta
(a)
é ponto singular regular porque
e
são analíticos em
.
(b) Uma solução pelo método de Frobenius é
(b) Uma solução pelo método de Frobenius é
(c) A outra solução tem a forma
com
obtidos por recorrência usando
.