Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
(x^3+2 x^2) y^prime prime-x y^prime-2 y=0
(a) Mostre que o ponto x0=0 é um ponto singular regular da EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDOLH
(x^3+2x^2),y''-x,y'-2y=0
e pede: (a) mostrar que x0=0 é ponto singular regular, (b) encontrar uma solução pelo método de Frobenius e (c) indicar a forma da segunda solução linearmente independente. Vamos usar o método de Frobenius, que consiste em assumir uma série do tipo
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r
e determinar o expoente r pela equação indicial, depois uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por x^2(x+2):
y''-xx^2(x+2),y'-2x^2(x+2),y=0
Logo
P(x)=-xx^3+2x^2, Q(x)=-2x^3+2x^2
Para ser ponto singular regular em x=0 precisamos que xP(x) e x^2Q(x) sejam analíticos em x=0. De fato,
xP(x)=-x^2x^2(x+2)=-xx+2, x^2Q(x)=-2x^2x^2(x+2)=-2x+2,
ambos se expandem em séries de potências em torno de 0. Portanto x0=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
e substituímos em cada termo da EDOLH, coletando potências de x^n+r. O coeficiente do menor expoente x^r dá a equação indicial
2r(r-1)-r-2=0
Resolvendo,
2r^2-3r-2=0 Longrightarrow r=3pm54,
isto é
r1=2, r2=-tfrac12

Passo 4

Para r=r1=2 obtemos a relação de recorrência, após alinhar as potências,
an,l[2(n+2)^2-3(n+2)-2r] + an-1,(n+1)n=0, n>=1,
cujo denominador simplifica para n(2n+5). Logo
an =-(n+1)nn(2n+5),an-1 =-n+12n+5,an-1
A primeira solução fica
y1(x) =x^2sumn=0^inftyan,x^n,
com a0 arbitrário (por exemplo a0=1) e an dado acima.

Passo 5

A segunda raiz r2=-tfrac12 gera outra solução linearmente independente pela mesma construção de Frobenius. Assim,
y2(x) =x^-1/2sumn=0^inftybn,x^n,
onde os coeficientes bn satisfazem uma relação de recorrência análoga à de an, mas com r=-tfrac12.

Resposta

(a) x0=0 é ponto singular regular porque xP(x) e x^2Q(x) são analíticos em 0.
(b) Uma solução pelo método de Frobenius é
y1(x)=x^2sumn=0^inftyanx^n, an=-n+12n+5,an-1,;a0neq0
(c) A outra solução tem a forma
y2(x)=x^-1/2sumn=0^inftybnx^n,
com bn obtidos por recorrência usando r=-tfrac12.

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