Seja
e
a sequência definida indutivamente por
Mostre que
é convergente e calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado define uma sequência
por
Queremos mostrar que
converge e determinar seu limite. O conteúdo utilizado será o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas e o passo-a-passo de passar ao limite na recorrência para achar o ponto fixo.
Passo 2
Mostramos primeiro que todo termo é maior ou igual a
. Pela desigualdade entre médias aritmética e geométrica, para
vale
Logo
e, em particular, todos os
são positivos.
Passo 3
Agora comparamos
com
:
Assim, a sequência cai sempre que estiver acima de
.
Assim, a sequência sobe sempre que estiver abaixo de
.
Como todos os termos ficam sempre
e, dependendo da posição de
em relação a
, a sequência é monótona (ou crescente se estiver abaixo, ou decrescente se estiver acima), concluímos que
é monótona e limitada. Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, ela converge.
Passo 4
Seja
. Passando ao limite na relação de recorrência, obtemos
Como todos os
, temos
e, portanto,
Resposta
A sequência
converge e seu limite é