Seja a>0 e (an)n in N a sequência definida indutivamente por
a1=a, an+1=12(an+aan)
Mostre que (an)n in N é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (an)ninN por
a1=a>0, an+1=12l(an+aanr)
Queremos mostrar que (an) converge e determinar seu limite. O conteúdo utilizado será o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas e o passo-a-passo de passar ao limite na recorrência para achar o ponto fixo.

Passo 2

Mostramos primeiro que todo termo é maior ou igual a raiza. Pela desigualdade entre médias aritmética e geométrica, para an>0 vale
an+aan2;>=;raizancdotaan =raiza
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an+1>=raiza para todo n>=1,
e, em particular, todos os an são positivos.

Passo 3

Agora comparamos an com raiza:
1. Se an>raiza, então tfracaan<raiza, de modo que
an+1 =an+aan2 <an+an2 =an
Assim, a sequência cai sempre que estiver acima de raiza.
2. Se an<raiza, então tfracaan>raiza, de modo que
an+1 =an+aan2 >an+an2 =an
Assim, a sequência sobe sempre que estiver abaixo de raiza.
Como todos os termos ficam sempre >=raiza e, dependendo da posição de an em relação a raiza, a sequência é monótona (ou crescente se estiver abaixo, ou decrescente se estiver acima), concluímos que (an) é monótona e limitada. Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, ela converge.

Passo 4

Seja L=limntoinftyan. Passando ao limite na relação de recorrência, obtemos
L =12l(L+aLr) ;Longrightarrow; 2L=L+aL ;Longrightarrow; L=aL ;Longrightarrow; L^2=a
Como todos os an>0, temos L>0 e, portanto,
L=raiza

Resposta

A sequência (an) converge e seu limite é
limntoinftyan=raiza

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