Calcule a área delimitada
g) pelas curvas y=x^2 e y=raizx

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = raizx. Isso envolve cálculo de integrais definidas e a ideia de “área entre duas curvas”, onde usamos a fórmula
Área = integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx, Á
sendo f(x) a função superior e g(x) a inferior, e a,b os pontos de interseção.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
x^2 = raizx
Elevando ambos os lados ao quadrado (ou reescrevendo raizx=x^1/2):
x^2 = x^1/2 Longrightarrow x^4 = x Longrightarrow x^4 - x = 0 Longrightarrow x,(x^3 - 1) = 0
Logo, x=0 ou x^3=1 com x=1. Os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima no intervalo [0,1]. Escolhendo, por exemplo, x=tfrac14:
raiztfrac14 = tfrac12 e l(tfrac14r)^2 = tfrac116,
então raizx > x^2. Assim, a área é
integral0^1l(raizx - x^2r),dx

Passo 4

Calculando separadamente:
integral0^1raizx,dx = integral0^1x^1/2,dx = [23x^3/2]0^1 = 23,
integral0^1x^2,dx = [13x^3]0^1 = 13
Portanto,
Área = 23 - 13 = 13 Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas é 13

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