Exercício 15. (F. 4.2, ex.1) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=partial upartial x(t, l)=0, t>0 u(0, x)=50, forall x in] 0, l[
(Dica: Use exercício 7)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação do calor unidimensional
partial upartial t(t,x)=kpartial^2upartial x^2(t,x),
com condições de contorno mistas
u(t,0)=0, partial upartial x(t,l)=0
e condição inicial constante
u(0,x)=50
O método envolve separação de variáveis e expansão em séries de autovalores para contorno de Dirichlet em x=0 e Neumann em x=l (veja o exercício 7).

Passo 2

Procuramos solução do tipo
u(t,x)=T(t),X(x)
Substituindo na PDE e separando variáveis obtemos
T'(t)k,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
de modo que X satisfaz
X''+lambda,X=0, X(0)=0, X'(l)=0
As soluções não-triviais exigem
lambdan=l((2n-1)pi2lr)^2, n=1,2,dots,
com autovetores
Xn(x)=sin!l((2n-1)pi2l,xr)

Passo 3

Para cada lambdan, a parte temporal satisfaz
Tn'(t)+k,lambdan,Tn(t)=0
cuja solução é
Tn(t)=e^-k,lambdan,t
Logo a solução geral por superposição fica
u(t,x)=sumn=1^inftyAn,e^-kl((2n-1)pi2lr)^2 t,sin!l((2n-1)pi2l,xr)

Passo 4

A constante An vem da expansão de Fourier da condição inicial
50=sumn=1^inftyAnsin!l((2n-1)pi2l,xr)
Usando a ortogonalidade em [0,l] e integral0^lsin^2((2n-1)pi x2l)dx= l2, temos
An=2 l2integral0^l50sin!l((2n-1)pi2l,xr),dx =100l,1(2n-1)pi2l =200(2n-1)pi

Resposta

u(t,x) =sumn=1^infty200(2n-1)pi, exp!l[-,kl(tfrac(2n-1)pi2lr)^2tr], sin!l(tfrac(2n-1)pi2l,xr)

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