Exercício 15. (F. 4.2, ex.1) Resolva a equação abaixo:
(Dica: Use exercício 7)
Passo 1
Estamos resolvendo a equação do calor unidimensional
com condições de contorno mistas
e condição inicial constante
O método envolve separação de variáveis e expansão em séries de autovalores para contorno de Dirichlet em
x=0 e Neumann em
x=l (veja o exercício 7).
Passo 2
Procuramos solução do tipo
Substituindo na PDE e separando variáveis obtemos
de modo que
X satisfaz
As soluções não-triviais exigem
com autovetores
Passo 3
Para cada
lambdan , a parte temporal satisfaz
cuja solução é
Logo a solução geral por superposição fica
Passo 4
A constante
An vem da expansão de Fourier da condição inicial
Usando a ortogonalidade em
[0,l] e
integral0^lsin^2((2n-1)pi x2l)dx= l2 , temos