Determine d yd x, se 3 x cdot arctg(x+y)+107=x^2 y.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
3x;arctan(x+y)+107 = x^2y
e pede dydx. Vamos usar diferenciação implícita, com a regra do produto e a regra da cadeia (para arctan).

Passo 2

Derivando o lado esquerdo em relação a x:
ddxl[3xarctan(x+y)+107r] =3,arctan(x+y) +3xcdot11+(x+y)^2cdotl(1+y'r),
pois ddx[3x]=3 e ddx[arctan(u)]=u'1+u^2. A constante 107 some.

Passo 3

Derivando o lado direito em relação a x:
ddx[x^2y] =2x,y + x^2y',
pela regra do produto em x^2 e y(x).

Passo 4

Igualando derivadas:
3arctan(x+y) +3x11+(x+y)^2 +3x11+(x+y)^2,y' =2x,y + x^2y'
Reescrevendo, separamos os termos com y':
3arctan(x+y) +3x1+(x+y)^2 +3x1+(x+y)^2,y' =2x,y + x^2y'

Passo 5

Agrupamos os termos que contêm y' num lado e os demais no outro:
3x1+(x+y)^2,y' - x^2y' =2x,y - 3arctan(x+y)-3x1+(x+y)^2
Fatorando y':
y'l(3x1+(x+y)^2 - x^2r) =2x,y - 3arctan(x+y)-3x1+(x+y)^2
Logo,
y' = 2x,y - 3arctan(x+y)-3x1+(x+y)^2 3x1+(x+y)^2 - x^2

Resposta

boxed dydx = 2x,y ;-;3arctan(x+y);-;dfrac3x1+(x+y)^2 dfrac3x1+(x+y)^2;-;x^2

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