Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\cos x>-1.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar todos os x no intervalo [0,2\pi] tais que \cos x > -1.
Informações dadas: o domínio de solução é 0 \leq x \leq 2\pi e a desigualdade é \cos x>-1.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a função cosseno varia entre -1 e 1; isto é,
-1 \leq \cos x \leq 1
para todo x. Portanto \cos x>-1 significa “todos os valores de \cos x estritamente maiores que -1”, ou seja, todos os pontos exceto aqueles em que \cos x é exatamente -1.

Passo 3

Precisamos achar onde \cos x = -1. A solução geral dessa equação é
x = \pi + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque no círculo trigonométrico o cosseno vale -1 no ângulo \pi e a função é periódica de período 2\pi.

Passo 4

Agora restringimos à faixa 0 \leq x \leq 2\pi. Substituindo valores inteiros para k:
  • k=0 x=\pi, que está no intervalo.
  • k=1 x=3\pi>2\pi, fora.
  • k=-1 x=-\pi<0, fora.
    Logo, o único ponto no intervalo em que \cos x=-1 é x=\pi.

Passo 5

Conclusão prática: como \cos x>-1 é verdadeiro para todos os x exceto onde \cos x=-1, e esse único ponto no intervalo é x=\pi, a solução no intervalo pedido é todo [0,2\pi] menos o ponto x=\pi. Observação rápida: os extremos x=0 e x=2\pi satisfazem a desigualdade porque \cos 0=\cos 2\pi=1>-1.

Resposta

[0,\pi)\cup(\pi,2\pi]

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