Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo
:
Informações dadas:
- A função envolvida é
. - O limiar (o valor com que comparamos) é
. - O domínio em que devemos encontrar as soluções é o intervalo fechado
.
A pergunta concreta: quais valores deem satisfazem ?
Passo 2
Entendendo o que é
no círculo trigonométrico — aula rápida e prática:
- No círculo trigonométrico,
é a coordenada (horizontal) do ponto correspondente ao ângulo . - Sabemos por valores notáveis que
Isto significa que nos ângulos de
(isto é,
) e no simétrico em torno do eixo
(ou em termos de sinais: nos ângulos com referência
) a cosseno vale exatamente
. Vou usar isso como ponto de partida para achar onde a desigualdade muda de sinal.
Passo 3
Resolver a equação auxiliar para localizar os pontos onde a desigualdade pode trocar de sinal:
Regra conhecida: se
então
Aplicando com
obtemos a solução geral
No intervalo pedido
esses valores correspondem a
Portanto os pontos onde
é exatamente
em
são
e
.
Passo 4
Analisar em quais intervalos entre esses pontos a desigualdade é verdadeira.
Observação útil: a função é contínua, então entre duas soluções da equação auxiliar ela ou fica maior que o limiar ou fica menor, sem saltos. Assim basta testar um ponto em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber o sinal da desigualdade.
Observação útil: a função
Os intervalos que aparecem ao cortar
em
e
são:
-
, -
, -
.
Testo um valor simples no intervalo central, por exemplo
. Temos
Como
, a desigualdade é verdadeira em todo o intervalo
.
Testo um valor fora (por exemplo
no primeiro intervalo):
e
, então a desigualdade é falsa em
.
Testo um valor no último intervalo (por exemplo
):
também maior que
, então a desigualdade é falsa em
.
Como a desigualdade é estrita (
), devemos excluir os pontos onde
, ou seja excluir
e
.
Passo 5
Conclusão organizada e verificação final:
- A inequação é satisfeita exatamente para os
que pertencem ao intervalo aberto entre e . - Verificação rápida com pontos de prova já feita: em
a desigualdade vale; em e não vale; nos endpoints a igualdade ocorre (devem ser excluídos).