Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\cos x<\sqrt{2} / 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica no intervalo 0 \leq x \leq 2\pi:
\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é \cos x.
  • O limiar (o valor com que comparamos) é \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • O domínio em que devemos encontrar as soluções é o intervalo fechado [0,2\pi].
    A pergunta concreta: quais valores de x em [0,2\pi] satisfazem \cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}?

Passo 2

Entendendo o que é \dfrac{\sqrt{2}}{2} no círculo trigonométrico — aula rápida e prática:
  • No círculo trigonométrico, \cos x é a coordenada x (horizontal) do ponto correspondente ao ângulo x.
  • Sabemos por valores notáveis que
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Isto significa que nos ângulos de 45^\circ (isto é, \frac{\pi}{4}) e no simétrico em torno do eixo x (ou em termos de sinais: nos ângulos com referência \frac{\pi}{4}) a cosseno vale exatamente \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Vou usar isso como ponto de partida para achar onde a desigualdade muda de sinal.

Passo 3

Resolver a equação auxiliar para localizar os pontos onde a desigualdade pode trocar de sinal:
\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Regra conhecida: se \cos x = \cos \alpha então
x = \pm \alpha + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aplicando com \alpha=\dfrac{\pi}{4} obtemos a solução geral
x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi.
No intervalo pedido 0 \le x \le 2\pi esses valores correspondem a
x=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}.
Portanto os pontos onde \cos x é exatamente \dfrac{\sqrt{2}}{2} em [0,2\pi] são x=\dfrac{\pi}{4} e x=\dfrac{7\pi}{4}.

Passo 4

Analisar em quais intervalos entre esses pontos a desigualdade é verdadeira.
Observação útil: a função \cos x é contínua, então entre duas soluções da equação auxiliar ela ou fica maior que o limiar ou fica menor, sem saltos. Assim basta testar um ponto em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber o sinal da desigualdade.
Os intervalos que aparecem ao cortar [0,2\pi] em \frac{\pi}{4} e \frac{7\pi}{4} são:
  • [0,\frac{\pi}{4}),
  • (\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}),
  • (\frac{7\pi}{4},2\pi].
Testo um valor simples no intervalo central, por exemplo x=\pi. Temos
\cos \pi = -1.
Como -1 < \dfrac{\sqrt{2}}{2}, a desigualdade é verdadeira em todo o intervalo \left(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right).
Testo um valor fora (por exemplo x=0 no primeiro intervalo):
\cos 0 = 1,
e 1 > \dfrac{\sqrt{2}}{2}, então a desigualdade é falsa em [0,\frac{\pi}{4}).
Testo um valor no último intervalo (por exemplo x=2\pi):
\cos 2\pi = 1,
também maior que \dfrac{\sqrt{2}}{2}, então a desigualdade é falsa em (\frac{7\pi}{4},2\pi].
Como a desigualdade é estrita ( <), devemos excluir os pontos onde \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja excluir \frac{\pi}{4} e \frac{7\pi}{4}.

Passo 5

Conclusão organizada e verificação final:
  • A inequação é satisfeita exatamente para os x que pertencem ao intervalo aberto entre \dfrac{\pi}{4} e \dfrac{7\pi}{4}.
  • Verificação rápida com pontos de prova já feita: em \pi a desigualdade vale; em 0 e 2\pi não vale; nos endpoints a igualdade ocorre (devem ser excluídos).

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right)

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