Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
no intervalo
.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
- Queremos todos os
tais que e .\n - Precisamos lembrar que
não está definida quando , isto é, nos pontos e dentro do intervalo pedido. Esses pontos não podem ser soluções.\n - A inequação é estrita (
), então pontos onde não pertencem à solução.\n
(Não vou começar a resolver ainda; só identifiquei claramente o que o problema pede e quais dados temos.)
Passo 2
Vamos achar primeiro os pontos onde
, porque são as fronteiras naturais da inequação.\n
A igualdade ocorre quando o ângulo
tem tangente igual a
. Sabemos que
tem período
e que em um período a solução básica é
. Portanto a solução geral é
A igualdade
Agora encontramos quais desses valores caem no intervalo
. Para
temos
. Para
temos
. Para
daria
, fora do intervalo. Logo os pontos relevantes dentro de
onde
são
Passo 3
Agora precisamos entender o comportamento de
nos trechos entre assíntotas, para decidir onde
.\n
Propriedades úteis (explicadas de forma simples):\n
Propriedades úteis (explicadas de forma simples):\n
- A função
tem assíntotas verticais onde , ou seja em . Entre duas assíntotas consecutivas a função é contínua e estritamente crescente, porque a derivada é positiva (sempre maior que zero onde está definida). Portanto, em cada intervalo do tipo
a
vai de
a
e cresce continuamente, cortando o valor
exatamente uma vez, no ponto
.\n
- Em consequência, dentro de cada uma dessas janelas de comprimento
, a desigualdade será satisfeita para os que ficam à esquerda do ponto onde (porque a função é crescente).
Passo 4
Vamos dividir o intervalo
em porções entre as assíntotas e analisar cada uma:\n
As assíntotas em são
e
. Assim temos três intervalos a considerar (interseção com
):\n
As assíntotas em
-
.\n -
.\n -
.\n
Passo 5
Análise em
:\n
Dentro desse intervalo é contínua e crescente, e sabemos que
em
(que pertence a
). Como
é crescente, para
temos
, e para
temos
. Como a desigualdade é estrita, o ponto
não entra. O extremo
pertence ao domínio e
, então está incluído. Portanto, a solução em
é
Dentro desse intervalo
ou seja
.
Passo 6
Análise em
:\n
Nesta janela a tangente também é crescente e corta o valor em
(como vimos no Passo 2). Então, por crescente, para
temos
; no ponto
temos igualdade (não incluímos), e para
temos
. O ponto
não pertence ao domínio e portanto não entra. Assim a solução em
é
Nesta janela a tangente também é crescente e corta o valor
ou seja
.
Passo 7
Análise em
:\n
Ainda temos crescente nesta janela. O próximo ponto onde
seria
, que está fora do intervalo
(é maior que
). Isso significa que, ao longo de todo o trecho
, a
ainda não atingiu
; ela cresce a partir de
logo após
e só chegaria a
depois de
. Portanto em todo esse trecho temos
. O extremo
é permitido e
. Assim a solução em
é
Ainda temos
ou seja
.
Passo 8
Vamos juntar as soluções dos três trechos. Unindo os resultados dos Passos 5, 6 e 7, obtemos o conjunto de todos os
em
que satisfazem
:
Para ter confiança rápida, podemos checar alguns pontos testes:\n
-
(está em ): — OK.\n -
(entre e ): — deve ser excluído — OK.\n -
(está em ): — OK.\n -
(está em ): — OK.\n