Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\operatorname{tg} x<1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica \tan x < 1 no intervalo [0,2\pi].\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • Queremos todos os x tais que 0 \le x \le 2\pi e \tan x < 1.\n
  • Precisamos lembrar que \tan x não está definida quando \cos x = 0, isto é, nos pontos x=\frac{\pi}{2} e x=\frac{3\pi}{2} dentro do intervalo pedido. Esses pontos não podem ser soluções.\n
  • A inequação é estrita ( <), então pontos onde \tan x = 1 não pertencem à solução.\n
    (Não vou começar a resolver ainda; só identifiquei claramente o que o problema pede e quais dados temos.)

Passo 2

Vamos achar primeiro os pontos onde \tan x = 1, porque são as fronteiras naturais da inequação.\n
A igualdade \tan x = 1 ocorre quando o ângulo x tem tangente igual a 1. Sabemos que \tan tem período \pi e que em um período a solução básica é x=\frac{\pi}{4}. Portanto a solução geral é
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora encontramos quais desses valores caem no intervalo [0,2\pi]. Para k=0 temos x=\frac{\pi}{4}. Para k=1 temos x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}. Para k=2 daria \frac{9\pi}{4}>2\pi, fora do intervalo. Logo os pontos relevantes dentro de [0,2\pi] onde \tan x = 1 são
x = \frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{4}.

Passo 3

Agora precisamos entender o comportamento de \tan x nos trechos entre assíntotas, para decidir onde \tan x < 1.\n
Propriedades úteis (explicadas de forma simples):\n
  • A função \tan x tem assíntotas verticais onde \cos x=0, ou seja em x=\frac{\pi}{2}+k\pi. Entre duas assíntotas consecutivas a função é contínua e estritamente crescente, porque a derivada \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x é positiva (sempre maior que zero onde está definida). Portanto, em cada intervalo do tipo
\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)
a \tan x vai de -\infty a +\infty e cresce continuamente, cortando o valor 1 exatamente uma vez, no ponto x=\frac{\pi}{4}+k\pi.\n
  • Em consequência, dentro de cada uma dessas janelas de comprimento \pi, a desigualdade \tan x<1 será satisfeita para os x que ficam à esquerda do ponto onde \tan x=1 (porque a função é crescente).

Passo 4

Vamos dividir o intervalo [0,2\pi] em porções entre as assíntotas e analisar cada uma:\n
As assíntotas em [0,2\pi] são x=\frac{\pi}{2} e x=\frac{3\pi}{2}. Assim temos três intervalos a considerar (interseção com [0,2\pi]):\n
  1. I_1 = [0,\frac{\pi}{2}).\n
  2. I_2 = (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}).\n
  3. I_3 = (\frac{3\pi}{2},2\pi].\n

Passo 5

Análise em I_1 = [0,\frac{\pi}{2}):\n
Dentro desse intervalo \tan x é contínua e crescente, e sabemos que \tan x = 1 em x=\frac{\pi}{4} (que pertence a I_1). Como \tan é crescente, para x<\frac{\pi}{4} temos \tan x<1, e para x>\frac{\pi}{4} temos \tan x>1. Como a desigualdade é estrita, o ponto x=\frac{\pi}{4} não entra. O extremo x=0 pertence ao domínio e \tan 0=0<1, então está incluído. Portanto, a solução em I_1 é
0 \le x < \frac{\pi}{4},
ou seja [0,\frac{\pi}{4}).

Passo 6

Análise em I_2 = (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}):\n
Nesta janela a tangente também é crescente e corta o valor 1 em x=\frac{5\pi}{4} (como vimos no Passo 2). Então, por crescente, para \frac{\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{4} temos \tan x<1; no ponto x=\frac{5\pi}{4} temos igualdade (não incluímos), e para \frac{5\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2} temos \tan x>1. O ponto x=\frac{\pi}{2} não pertence ao domínio e portanto não entra. Assim a solução em I_2 é
\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{4},
ou seja (\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4}).

Passo 7

Análise em I_3 = (\frac{3\pi}{2},2\pi]:\n
Ainda temos \tan crescente nesta janela. O próximo ponto onde \tan x=1 seria x=\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}, que está fora do intervalo [0,2\pi] (é maior que 2\pi). Isso significa que, ao longo de todo o trecho (\frac{3\pi}{2},2\pi], a \tan x ainda não atingiu 1; ela cresce a partir de -\infty logo após \frac{3\pi}{2} e só chegaria a 1 depois de 2\pi. Portanto em todo esse trecho temos \tan x<1. O extremo x=2\pi é permitido e \tan 2\pi=0<1. Assim a solução em I_3 é
\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi,
ou seja (\frac{3\pi}{2},2\pi].

Passo 8

Vamos juntar as soluções dos três trechos. Unindo os resultados dos Passos 5, 6 e 7, obtemos o conjunto de todos os x em [0,2\pi] que satisfazem \tan x<1:
[0,\tfrac{\pi}{4})\;\cup\;(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{4})\;\cup\;(\tfrac{3\pi}{2},2\pi].
Para ter confiança rápida, podemos checar alguns pontos testes:\n
  • x=\tfrac{\pi}{6} (está em [0,\tfrac{\pi}{4})): \tan\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}<1 — OK.\n
  • x=\tfrac{\pi}{3} (entre \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{2}): \tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}>1 — deve ser excluído — OK.\n
  • x=\pi (está em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{4})): \tan\pi=0<1 — OK.\n
  • x=\tfrac{7\pi}{4} (está em (\tfrac{3\pi}{2},2\pi]): \tan\tfrac{7\pi}{4}=-1<1 — OK.\n

Resposta

[0,\tfrac{\pi}{4})\cup(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{4})\cup(\tfrac{3\pi}{2},2\pi]

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