Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade trigonométrica
no intervalo
.
Pergunta: determinar todos os valores de em
que satisfazem essa desigualdade.
Pergunta: determinar todos os valores de
Passo 2
Usamos a identidade pitagórica básica entre seno e cosseno:
Dessa identidade segue imediatamente que
Substituindo isso na desigualdade dada obtemos (escrevo em bloco para ficar claro):
Passo 3
Agora simplificamos a desigualdade: subtraindo
de ambos os lados fica
Multiplicar ambos os lados por
inverte o sinal da desigualdade (importante: quando multiplicamos por número negativo, a desigualdade se inverte), então obtemos
Passando tudo para um lado:
Fatorando:
Passo 4
Para resolver a desigualdade em
é útil fazer
e resolver
Esse produto é não negativo quando
está fora do intervalo entre as raízes
e
; portanto as soluções em
são
Voltando a
, isso é
Passo 5
Interpretando essas condições no intervalo
:
-
: o cosseno é não positivo nos quadrantes II e III, ou seja para incluindo as extremidadese porque a desigualdade é não estrita. -
: como sempre, a condição só ocorre quando , isto é para (ambos estão no intervalo dado).
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida com exemplos: para
temos
e
, e
é falso, então
não deve estar na solução (coerente). Para
temos
e
, então
é verdadeiro (coerente com
que pertence ao intervalo
).