Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\operatorname{sen}^{2} x \leq 1-\cos x.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade trigonométrica
\sin^{2}x \le 1 - \cos x
no intervalo \,0 \le x \le 2\pi.
Pergunta: determinar todos os valores de x em [0,2\pi] que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Usamos a identidade pitagórica básica entre seno e cosseno:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dessa identidade segue imediatamente que
\sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
Substituindo isso na desigualdade dada obtemos (escrevo em bloco para ficar claro):
1-\cos^{2}x \le 1 - \cos x.

Passo 3

Agora simplificamos a desigualdade: subtraindo 1 de ambos os lados fica
-\cos^{2}x \le -\cos x.
Multiplicar ambos os lados por -1 inverte o sinal da desigualdade (importante: quando multiplicamos por número negativo, a desigualdade se inverte), então obtemos
\cos^{2}x \ge \cos x.
Passando tudo para um lado:
\cos^{2}x - \cos x \ge 0.
Fatorando:
\cos x\bigl(\cos x - 1\bigr) \ge 0.

Passo 4

Para resolver a desigualdade em \cos x é útil fazer t=\cos x e resolver
t(t-1)\ge 0.
Esse produto é não negativo quando t está fora do intervalo entre as raízes t=0 e t=1; portanto as soluções em t são
t\le 0 \quad\text{ou}\quad t\ge 1.
Voltando a x, isso é
\cos x \le 0 \quad\text{ou}\quad \cos x \ge 1.

Passo 5

Interpretando essas condições no intervalo [0,2\pi]:
  • \cos x \le 0: o cosseno é não positivo nos quadrantes II e III, ou seja para
    x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right],
    incluindo as extremidades \frac{\pi}{2} e \frac{3\pi}{2} porque a desigualdade é não estrita.
  • \cos x \ge 1: como \cos x\le 1 sempre, a condição \cos x\ge 1 só ocorre quando \cos x=1, isto é para
    x=0\quad\text{ou}\quad x=2\pi
    (ambos estão no intervalo dado).

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida com exemplos: para x=\pi/3 temos \sin^{2}x=\tfrac{3}{4} e 1-\cos x=\tfrac{1}{2}, e \tfrac{3}{4}\le\tfrac{1}{2} é falso, então x=\pi/3 não deve estar na solução (coerente). Para x=\pi temos \sin^{2}\pi=0 e 1-\cos\pi=2, então 0\le 2 é verdadeiro (coerente com x=\pi que pertence ao intervalo [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}]).

Resposta

x\in\{0,2\pi\}\cup\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]

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