Sejam uma função de classe e dado por . Seja para algum . Mostre que . (Analogamente, se para algum , então ).
Sugestão: Mostre que é constante em .
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de gradiente em dado por
onde é . Queremos mostrar que, se pertence ao conjunto -limite de alguma órbita começando em , então . A ideia é usar como função de Lyapunov, mostrando primeiro que é constante sobre e depois que isso implica .
Passo 2
Mostramos que decresce ao longo de qualquer solução . Como satisfaz , temos
Logo tmapsto V(phi(t,x)) é não crescente, e em particular o limite
Vinfty ;=;limtto+inftyVl(phi(t,x)r)
existe (pode ser -infty, mas não admitiremos esse caso patológico aqui).
Passo 3
Se tilde xin Lomega(x), existe uma sequência tkto+infty tal que phi(tk,x)totilde x. Como V é contínua,
Vl(phi(tk,x)r);xrightarrow[ktoinfty];V(tilde x)
Por outro lado, V(phi(tk,x))to Vinfty. Portanto
V(tilde x)=Vinfty
Isso mostra que, para todo ponto em Lomega(x), V assume o mesmo valor Vinfty. Ou seja, V é constante em Lomega(x).
Passo 4
Como V é constante em Lomega(x), a derivada de V ao longo da órbita que passa por tilde x deve ser zero no instante em que se está em tilde x. Em particular,