Exercício 15 (S.5.9)

Sejam V: E R uma função de classe C^2 e f: E R^n dado por f(x)=-nabla V(x). Seja tildex in Lomega(x) para algum x in E. Mostre que f(x)=0. (Analogamente, se tildex in Lalpha(x) para algum x in E, então f(x)=0 ).
Sugestão: Mostre que V é constante em Lomega(x).

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de gradiente em EsubseteqR^n dado por
dot x = f(x) = -nabla V(x),
onde Vcolon EtoR é C^2. Queremos mostrar que, se tilde x pertence ao conjunto omega-limite Lomega(x) de alguma órbita começando em x, então f(tilde x)=0. A ideia é usar V como função de Lyapunov, mostrando primeiro que V é constante sobre Lomega(x) e depois que isso implica nabla V(tilde x)=0.

Passo 2

Mostramos que V decresce ao longo de qualquer solução phi(t,x). Como phi satisfaz dotphi(t,x) = -nabla V(phi(t,x)), temos
ddtVl(phi(t,x)r) = nabla Vl(phi(t,x)r)cdotdotphi(t,x) = -l|nabla V(phi(t,x))r|^2 <= 0
Logo tmapsto V(phi(t,x)) é não crescente, e em particular o limite
Vinfty ;=;limtto+inftyVl(phi(t,x)r)
existe (pode ser -infty, mas não admitiremos esse caso patológico aqui).

Passo 3

Se tilde xin Lomega(x), existe uma sequência tkto+infty tal que phi(tk,x)totilde x. Como V é contínua,
Vl(phi(tk,x)r);xrightarrow[ktoinfty];V(tilde x)
Por outro lado, V(phi(tk,x))to Vinfty. Portanto
V(tilde x)=Vinfty
Isso mostra que, para todo ponto em Lomega(x), V assume o mesmo valor Vinfty. Ou seja, V é constante em Lomega(x).

Passo 4

Como V é constante em Lomega(x), a derivada de V ao longo da órbita que passa por tilde x deve ser zero no instante em que se está em tilde x. Em particular,
ddtVl(phi(t,tilde x)r)|t=0 = -l|nabla V(tilde x)r|^2 =0
Daqui segue nabla V(tilde x)=0 e, pelo defino de f,
f(tilde x) ;=; -nabla V(tilde x);=;0

Resposta

Se tilde xin Lomega(x), então f(tilde x)=0. Analogamente, se tilde xin Lalpha(x), também f(tilde x)=0.

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