Exercício 3.7.6. Calcule o comprimento do arco especificado em cada uma das curvas:
x=13 y^32, (0,0) e (1,8).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva definida por
x = tfrac13,y^3/2
entre os pontos (0,0) e (1,8). O conteúdo usado será a fórmula de comprimento de arco para curvas dadas como x = f(y), que é
L = integraly1^y2 raiz1 + l(f'(y)r)^2,dy

Passo 2

Calculamos a derivada de x em função de y:
f'(y) = ddyl(tfrac13,y^3/2r) = tfrac13,32,y^1/2 = tfrac12,y^1/2
Logo,
1 + l(f'(y)r)^2 = 1 + l(tfrac12y^1/2r)^2 = 1 + tfracy4 = 4 + y4

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, de y=0 até y=8:
L = integral0^8 raiz4+y4,dy = integral0^8 raiz4+y2,dy = tfrac12integral0^8 raizy+4,dy

Passo 4

Fazemos a substituição t = y + 4, então dt = dy e os limites vão de t(0)=4 até t(8)=12:
L = tfrac12integral4^12 t^1/2,dt = tfrac12,l[tfrac23,t^3/2r]4^12 = tfrac13l(12^3/2 - 4^3/2r)
Como 12^3/2 = ( raiz12 )^3 = (2raiz3)^3 = 8raiz3 e 4^3/2=8, temos
L = tfrac13l(8raiz3 - 8r) = 8raiz3 - tfrac83

Resposta

8raiz3 ;-;83

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