Exercício 15. Seja ( V,+, \cdot ) espaço vetorial real, munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
V=M_{2}(\mathbb{R}),\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno do Exercício 3. e T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), tal que
\begin{gathered} T\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), T\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right), \\\ T\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right) \text { e } T\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) . \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T: M_{2}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R}) é auto-adjunto (ou seja, se T=T^{*} relativamente ao produto interno dado). Dados fornecidos:
\begin{gathered} T\!\left(\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad T\!\left(\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\\[6pt] T\!\left(\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\quad T\!\left(\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}. \end{gathered}
O enunciado refere-se ao “produto interno do Exercício 3”. Vou usar o produto interno padrão em M_2(\mathbb{R}) frequentemente usado e que costuma aparecer nesses exercícios:
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B),
isto é, o produto interno que soma o produto termo a termo das entradas. Também tomo como base canônica as matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
cuja propriedade importante será usada nas verificações.]

Passo 2

O que significa ser auto-adjunto? Por definição, um operador linear T é auto-adjunto (ou simétrico) se, para todo X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}),
\langle T(X),Y\rangle = \langle X, T(Y)\rangle.
Dica prática: se temos uma base ortonormal para o produto interno, basta verificar essa igualdade para todos os pares de vetores da base. No nosso caso, com o produto interno \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{T}B), a base E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} é ortonormal pois
\langle E_{ij},E_{kl}\rangle = \delta_{ik}\delta_{jl},
ou seja, vale 1 se (i,j)=(k,l) e 0 caso contrário. Então verificar a condição de adjunção em todos os pares dessa base é suficiente.

Passo 3

Reescrevo as ações de T em termos da base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}:
T(E_{11})=E_{12},
T(E_{12})=E_{11}+E_{12}+2E_{21},
T(E_{21})=2E_{21},
T(E_{22})=E_{22}.
Essas expressões obtive diretamente das matrizes dadas no enunciado, decompondo cada imagem nas componentes da base canônica.

Passo 4

Como a base é ortonormal, a matriz da transformação T nessa base tem colunas iguais às coordenadas de T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}). Escrevendo as colunas (na ordem E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}):
  • Coluna de T(E_{11})=E_{12} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Coluna de T(E_{12})=E_{11}+E_{12}+2E_{21} é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Coluna de T(E_{21})=2E_{21} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Coluna de T(E_{22})=E_{22} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de T na base ortonormal é
M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Critério para ser auto-adjunto na base ortonormal: a matriz M deve ser simétrica, isto é, M^{T}=M. Vamos comparar M com sua transposta M^{T}. A transposta é
M^{T}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Note que M_{2,3}=0 enquanto M^{T}_{2,3}=2. Logo M\neq M^{T}, ou seja, a matriz não é simétrica. Portanto T não é auto-adjunto.]

Passo 6

Para tornar a demonstração mais explícita e direta (sem depender apenas da matriz), mostro um par de vetores da base que viola a condição de adjunção. Tome X=E_{12} e Y=E_{21}. Calculo os dois lados:
  • Primeiro lado:
\langle T(E_{12}),E_{21}\rangle = \langle E_{11}+E_{12}+2E_{21},E_{21}\rangle = \langle E_{11},E_{21}\rangle + \langle E_{12},E_{21}\rangle + 2\langle E_{21},E_{21}\rangle.
Como a base é ortonormal, os dois primeiros termos são 0 e o último é 2\cdot 1=2. Então
\langle T(E_{12}),E_{21}\rangle = 2.
  • Segundo lado:
\langle E_{12},T(E_{21})\rangle = \langle E_{12},2E_{21}\rangle = 2\langle E_{12},E_{21}\rangle = 2\cdot 0 = 0.
Como 2 \neq 0, temos um contraexemplo direto à igualdade \langle T(X),Y\rangle=\langle X,T(Y)\rangle. Isso confirma que T não é auto-adjunto.

Resposta

T não é auto-adjunto.

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