Exercício 15. Seja ( V,+, \cdot ) espaço vetorial real, munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos: V=M_{2}(\mathbb{R}),\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno do Exercício 3. e T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), tal que
O enunciado pede para verificar se o operador linear T: M_{2}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R}) é auto-adjunto (ou seja, se T=T^{*} relativamente ao produto interno dado). Dados fornecidos:
O enunciado refere-se ao “produto interno do Exercício 3”. Vou usar o produto interno padrão em M_2(\mathbb{R}) frequentemente usado e que costuma aparecer nesses exercícios:
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B),
isto é, o produto interno que soma o produto termo a termo das entradas. Também tomo como base canônica as matrizes
cuja propriedade importante será usada nas verificações.]
Passo 2
O que significa ser auto-adjunto? Por definição, um operador linear T é auto-adjunto (ou simétrico) se, para todo X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}),
\langle T(X),Y\rangle = \langle X, T(Y)\rangle.
Dica prática: se temos uma base ortonormal para o produto interno, basta verificar essa igualdade para todos os pares de vetores da base. No nosso caso, com o produto interno \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{T}B), a base E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} é ortonormal pois
ou seja, vale 1 se (i,j)=(k,l) e 0 caso contrário. Então verificar a condição de adjunção em todos os pares dessa base é suficiente.
Passo 3
Reescrevo as ações de T em termos da base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}:
T(E_{11})=E_{12},
T(E_{12})=E_{11}+E_{12}+2E_{21},
T(E_{21})=2E_{21},
T(E_{22})=E_{22}.
Essas expressões obtive diretamente das matrizes dadas no enunciado, decompondo cada imagem nas componentes da base canônica.
Passo 4
Como a base é ortonormal, a matriz da transformação T nessa base tem colunas iguais às coordenadas de T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}). Escrevendo as colunas (na ordem E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}):
Coluna de T(E_{11})=E_{12} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Coluna de T(E_{12})=E_{11}+E_{12}+2E_{21} é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Coluna de T(E_{21})=2E_{21} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Coluna de T(E_{22})=E_{22} é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Critério para ser auto-adjunto na base ortonormal: a matriz M deve ser simétrica, isto é, M^{T}=M. Vamos comparar M com sua transposta M^{T}. A transposta é
Note que M_{2,3}=0 enquanto M^{T}_{2,3}=2. Logo M\neq M^{T}, ou seja, a matriz não é simétrica. Portanto T não é auto-adjunto.]
Passo 6
Para tornar a demonstração mais explícita e direta (sem depender apenas da matriz), mostro um par de vetores da base que viola a condição de adjunção. Tome X=E_{12} e Y=E_{21}. Calculo os dois lados: