Seja
e
base de
Calcule as matriges:
:
Passo 1
O enunciado dá as bases de
:
e
Pede-se a matriz
.
Passo 2
Vamos esclarecer o que é
. Essa notação significa a matriz da transformação identidade
escrita com domínio em coordenadas da base
e imagem em coordenadas da base
. Em termos práticos,
é a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas em
nas coordenadas do mesmo vetor expressas em
:
Uma propriedade muito útil: as colunas de
são as coordenadas, na base
, dos vetores da base
. Ou seja, a primeira coluna é
e a segunda coluna é
, onde
e
são os vetores de
.
Passo 3
Identifico explicitamente os vetores das bases:
Vou escrever cada
como combinação linear dos
:
onde os coeficientes
serão as coordenadas de
na base
.
Passo 4
Calculo as coordenadas de
na base
. Escrevo
Agora componho por coordenadas: para a primeira componente
e para a segunda componente
Da primeira equação obtenho
Substituindo na segunda:
Portanto as coordenadas de
na base
são
Passo 5
Calculo as coordenadas de
na base
. Escrevo
Pelas componentes:
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Assim
Passo 6
Agora monto
colocando
como primeira coluna e
como segunda coluna: