Seja \dot{\alpha}=\{(1,1),(1,-1)\} e \beta=\{(-1,1),(0,2)\} base de \mathbb{R}^{2}
Calcule as matriges:
I_{\beta}^{\alpha} :

Passo 1

O enunciado dá as bases de \mathbb{R}^2:
\dot{\alpha}=\{(1,1),(1,-1)\}
e
\beta=\{(-1,1),(0,2)\}.
Pede-se a matriz I_{\beta}^{\alpha}.

Passo 2

Vamos esclarecer o que é I_{\beta}^{\alpha}. Essa notação significa a matriz da transformação identidade
\text{Id}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
escrita com domínio em coordenadas da base \dot{\alpha} e imagem em coordenadas da base \beta. Em termos práticos, I_{\beta}^{\alpha} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas em \dot{\alpha} nas coordenadas do mesmo vetor expressas em \beta:
[v]_{\beta}=I_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\dot{\alpha}}.
Uma propriedade muito útil: as colunas de I_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas, na base \beta, dos vetores da base \dot{\alpha}. Ou seja, a primeira coluna é [a_1]_{\beta} e a segunda coluna é [a_2]_{\beta}, onde a_1 e a_2 são os vetores de \dot{\alpha}.

Passo 3

Identifico explicitamente os vetores das bases:
a_1=(1,1),\qquad a_2=(1,-1),
b_1=(-1,1),\qquad b_2=(0,2).
Vou escrever cada a_i como combinação linear dos b_j:
a_i = c_{1}^{(i)}\,b_1 + c_{2}^{(i)}\,b_2,
onde os coeficientes c_{1}^{(i)},c_{2}^{(i)} serão as coordenadas de a_i na base \beta.

Passo 4

Calculo as coordenadas de a_1=(1,1) na base \beta. Escrevo
(1,1)=c_1(-1,1)+c_2(0,2).
Agora componho por coordenadas: para a primeira componente
-\,c_1 = 1,
e para a segunda componente
c_1 + 2c_2 = 1.
Da primeira equação obtenho
c_1 = -1.
Substituindo na segunda:
-1 + 2c_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2c_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 1.
Portanto as coordenadas de a_1 na base \beta são
[a_1]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo as coordenadas de a_2=(1,-1) na base \beta. Escrevo
(1,-1)=d_1(-1,1)+d_2(0,2).
Pelas componentes:
-\,d_1 = 1,
d_1 + 2d_2 = -1.
Da primeira equação vem
d_1 = -1.
Substituindo na segunda:
-1 + 2d_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad 2d_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad d_2 = 0.
Assim
[a_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora monto I_{\beta}^{\alpha} colocando [a_1]_{\beta} como primeira coluna e [a_2]_{\beta} como segunda coluna:
I_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} -1 & -1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

I_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} -1 & -1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}]

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