Exercício 12. Considere o espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ) munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle usual. Determine m \in \mathbb{R}, de modo que o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por:
T(x, y, z)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}} y+m z,-\frac{1}{\sqrt{6}} x+\frac{2}{\sqrt{6}} y-\frac{1}{\sqrt{6}} z,-\frac{1}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}} z\right), \quad \text { para } \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3},

Passo 1

O enunciado pede: determinar m\in\mathbb{R} de modo que o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
T(x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}}y+mz,\; -\frac{1}{\sqrt{6}}x+\frac{2}{\sqrt{6}}y-\frac{1}{\sqrt{6}}z,\; -\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}z\right)
tenha a propriedade pedida (ou seja, encontrar o valor de m que torna T o operador desejado).\n
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{As componentes de }T(x,y,z)\text{ são as combinações lineares acima; o parâmetro desconhecido é }m.ãçõâé
Não há outras informações numéricas além dos coeficientes mostrados.

Passo 2

Decidindo o que é necessário fazer (explicação do critério usado). Vou procurar m para que T seja um operador que preserva o produto interno (isto é, uma transformação ortogonal/isometria). Por que usar esse critério? Porque, em problemas desse tipo, quando nos dão combinações com coeficientes normalizados ( 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{6}, 1/\sqrt{2} etc.), o objetivo costuma ser que as linhas (ou colunas) da matriz associada sejam vetores ortonormais. \n
Lembrete prático e fórmula usada: dois vetores u e v em \mathbb{R}^{3} são ortogonais se \langle u,v\rangle=0, onde \langle u,v\rangle é o produto interno usual (produto escalar). A norma ao quadrado de u é \langle u,u\rangle. Uma matriz é ortogonal se suas linhas (ou colunas) formam um conjunto ortonormal. Portanto vou impor que as três linhas da matriz de T sejam mutuamente ortogonais e de norma 1.

Passo 3

Escrever a matriz de T e identificar as linhas (cada linha é um vetor em \mathbb{R}^{3}). A matriz A de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & m\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Denoto as linhas por
r_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},m\right),\quad r_{2}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right),\quad r_{3}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).]

Passo 4

Impor que cada linha tenha norma 1. Primeiro a norma ao quadrado de r_{1}:
\langle r_{1},r_{1}\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+m^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+m^{2}=\frac{2}{3}+m^{2}.
Para que \|r_{1}\|=1 precisamos de
\frac{2}{3}+m^{2}=1.
Resolvendo,
m^{2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
ou seja
m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Verificar a ortogonalidade entre r_{2} e r_{3} (já que estes não dependem de m). Calculo o produto interno \langle r_{2},r_{3}\rangle:
\langle r_{2},r_{3}\rangle=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)(0)+\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Os dois termos não nulos são iguais em módulo e sinais opostos, portanto
\langle r_{2},r_{3}\rangle=\frac{1}{\sqrt{12}}-\frac{1}{\sqrt{12}}=0.
Logo r_{2} e r_{3} já são ortogonais entre si, sem depender de m.

Passo 6

Agora impor que r_{1} seja ortogonal a r_{2} e a r_{3}. Primeiro \langle r_{1},r_{2}\rangle=0:
\langle r_{1},r_{2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)+m\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Agrupando os dois primeiros termos:
\langle r_{1},r_{2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}- \frac{m}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{18}}-\frac{m}{\sqrt{6}}.
Impondo igual a zero:
\frac{1}{\sqrt{18}}-\frac{m}{\sqrt{6}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{18}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{6}:
m=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{18}}.
Simplificando \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. Logo desta condição obtemos
m=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Verificar também \langle r_{1},r_{3}\rangle=0 com o valor encontrado para garantir consistência. Calculo:
\langle r_{1},r_{3}\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}(0)+m\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{m}{\sqrt{2}}.
Com m=\frac{1}{\sqrt{3}},
-\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}=0.
Portanto r_{1} é ortogonal a r_{3} também quando m=\frac{1}{\sqrt{3}}. Note que a outra solução m=-\frac{1}{\sqrt{3}} não satisfaz as duas igualdades de ortogonalidade simultaneamente (ela satisfaria a condição de norma, mas falharia em zerar os produtos escalares com r_{2} ou r_{3}) — por isso apenas m=\frac{1}{\sqrt{3}} é aceitável para torne a matriz ortogonal.

Resposta

\displaystyle m=\frac{1}{\sqrt{3}}

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