Exercício 12. Considere o espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ) munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle usual. Determine m \in \mathbb{R}, de modo que o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por:
T(x, y, z)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}} y+m z,-\frac{1}{\sqrt{6}} x+\frac{2}{\sqrt{6}} y-\frac{1}{\sqrt{6}} z,-\frac{1}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}} z\right), \quad \text { para } \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3},
Passo 1
O enunciado pede: determinar m\in\mathbb{R} de modo que o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
tenha a propriedade pedida (ou seja, encontrar o valor de m que torna T o operador desejado).\n
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{As componentes de }T(x,y,z)\text{ são as combinações lineares acima; o parâmetro desconhecido é }m.
Não há outras informações numéricas além dos coeficientes mostrados.
Passo 2
Decidindo o que é necessário fazer (explicação do critério usado). Vou procurar m para que T seja um operador que preserva o produto interno (isto é, uma transformação ortogonal/isometria). Por que usar esse critério? Porque, em problemas desse tipo, quando nos dão combinações com coeficientes normalizados (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{6}, 1/\sqrt{2} etc.), o objetivo costuma ser que as linhas (ou colunas) da matriz associada sejam vetores ortonormais. \n
Lembrete prático e fórmula usada: dois vetores u e v em \mathbb{R}^{3} são ortogonais se \langle u,v\rangle=0, onde \langle u,v\rangle é o produto interno usual (produto escalar). A norma ao quadrado de u é \langle u,u\rangle. Uma matriz é ortogonal se suas linhas (ou colunas) formam um conjunto ortonormal. Portanto vou impor que as três linhas da matriz de T sejam mutuamente ortogonais e de norma 1.
Passo 3
Escrever a matriz de T e identificar as linhas (cada linha é um vetor em \mathbb{R}^{3}). A matriz A de T na base canônica é
Portanto r_{1} é ortogonal a r_{3} também quando m=\frac{1}{\sqrt{3}}. Note que a outra solução m=-\frac{1}{\sqrt{3}} não satisfaz as duas igualdades de ortogonalidade simultaneamente (ela satisfaria a condição de norma, mas falharia em zerar os produtos escalares com r_{2} ou r_{3}) — por isso apenas m=\frac{1}{\sqrt{3}} é aceitável para torne a matriz ortogonal.