Pergunta 40,8 pts
Considere um circuito síncrono com um sinal de entrada Xe implementado com dois flip-flops JK e portas lógicas, em que:
\begin{aligned} & J_{1}=X Q_{0} \\\ & K_{1}=\bar{X} \\\ & J_{0}=X \\\ & K_{0}=\bar{X}+\bar{Q}_{1} \end{aligned}
Podemos afirmar que, inicializando-se o circuito no estado \mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{0}=00, e aplicando-se pulsos de clock na entrada CLK:

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Caso \mathrm{X}=0, o circuito se comportará como um contador decrescente e caso \mathrm{X}=1, o circuito se comportará como um contador crescente

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Caso X=0, o estado permanecerá inalterado em 00 e caso X=1, o circuito se comportará como um contador crescente até chegar ao estado 11, onde então permanecerá indefinidamente
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Caso X=0, o circuito contará na sequência 00-10-01-11, ciclicamente e caso X=1, o circuito contará na sequência 00-11-01-10, ciclicamente

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Caso X=0, o circuito contará na sequência 00-10-01-11, ciclicamente e caso X=1, o circuito se comportará como um contador decrescente

Passo 1

O enunciado dá as equações dos terminais J e K dos dois flip-flops JK e pede para afirmar o comportamento do circuito quando o estado inicial é \mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{0}=00 e quando aplicamos pulsos de clock, para os dois casos de entrada fixa \,X=0 e X=1. Dados fornecidos (vou copiar exatamente do enunciado):
\begin{aligned} J_{1} &= X Q_{0}\\[4pt] K_{1} &= \overline{X}\\[4pt] J_{0} &= X\\[4pt] K_{0} &= \overline{X} + \overline{Q}_{1} \end{aligned}
Perguntas que o enunciado faz (claras e separadas):
  1. O que acontece com o circuito quando \,X=0, partindo do estado inicial \,Q_{1}Q_{0}=00?
  2. O que acontece com o circuito quando \,X=1, partindo do mesmo estado inicial?
    Observação: não foi pedido para analisar estados não alcançáveis, mas precisamos saber a lei de transição para concluir se há contagem cíclica, parada em 00 ou parada em 11.]

Passo 2

Lembrete prático sobre o comportamento do flip-flop JK (para a prova isso é muito útil e simples):
  • A equação característica de um JK discreto é
Q^{+} = J\overline{Q} + \overline{K}Q,
onde Q é o estado atual e Q^{+} é o próximo estado (após a borda de clock). Aqui:
  • J e K são as entradas do flip-flop (podem depender de X e de Q atuais),
  • \overline{Q} é o complemento lógico de Q,
  • se J=K=0 então Q^{+}=Q (mantém),
  • se J=1,K=0 então Q^{+}=1 (set),
  • se J=0,K=1 então Q^{+}=0 (reset),
  • se J=K=1 então Q^{+}=\overline{Q} (toggle).
    Na prova é bom decorar a fórmula e também a tabela de quatro casos; aqui usaremos a fórmula para obter expressões algébricas compactas dos próximos estados.

Passo 3

Aplicamos a equação característica a cada flip-flop usando as expressões dadas.
Para o flip-flop \,Q_{1}:
Q_{1}^{+} = J_{1}\overline{Q_{1}} + \overline{K_{1}}Q_{1}.
Substituindo J_{1}=XQ_{0} e K_{1}=\overline{X} obtemos
Q_{1}^{+} = (XQ_{0})\overline{Q_{1}} + \overline{\overline{X}}\,Q_{1}.
Como \overline{\overline{X}}=X, isso vira
Q_{1}^{+} = X\bigl(Q_{0}\overline{Q_{1}} + Q_{1}\bigr).
Usando a identidade booleana A + BC = (A + B)(A + C) com A=Q_{1},B=Q_{0},C=\overline{Q_{1}}, nota-se que Q_{1} + Q_{0}\overline{Q_{1}} = Q_{1} + Q_{0}. Assim simplificamos:
Q_{1}^{+} = X\,(Q_{1} + Q_{0}).
Para o flip-flop \,Q_{0}:
Q_{0}^{+} = J_{0}\overline{Q_{0}} + \overline{K_{0}}Q_{0}.
Substituindo J_{0}=X e K_{0}=\overline{X} + \overline{Q_{1}} temos
Q_{0}^{+} = X\overline{Q_{0}} + \overline{\overline{X} + \overline{Q_{1}}}\;Q_{0}.
Pela De Morgan, \overline{\overline{X} + \overline{Q_{1}}} = X Q_{1}. Então
Q_{0}^{+} = X\overline{Q_{0}} + X Q_{1}Q_{0} = X\bigl(\overline{Q_{0}} + Q_{1}Q_{0}\bigr).
E usando \overline{Q_{0}} + Q_{1}Q_{0} = \overline{Q_{0}} + Q_{1} (é fácil verificar: se Q_{0}=0 o lado esquerdo é 1, se Q_{0}=1 fica Q_{1}, igual ao lado direito), temos a forma simplificada
Q_{0}^{+} = X\bigl(\overline{Q_{0}} + Q_{1}\bigr).
Resumo das equações de transição obtidas (muito úteis):
\boxed{\,Q_{1}^{+} = X\,(Q_{1} + Q_{0})\,}\qquad\boxed{\,Q_{0}^{+} = X\,(\overline{Q_{0}} + Q_{1})\,}

Passo 4

Análise para \,X=0. Substituímos X=0 nas equações de transição:
Q_{1}^{+} = 0\cdot (Q_{1} + Q_{0}) = 0,
Q_{0}^{+} = 0\cdot (\overline{Q_{0}} + Q_{1}) = 0.
Ou seja, independentemente do estado atual, o próximo estado será \,Q_{1}^{+}Q_{0}^{+}=00. Como o enunciado diz que o circuito é inicializado em \,00, após um pulso de clock permanecerá em \,00; em pulsações subsequentes continuará em \,00. Conclusão parcial: para \,X=0 o circuito fica em \,00 (estado preso).

Passo 5

Análise para \,X=1. Substituímos X=1 nas equações:
Q_{1}^{+} = Q_{1} + Q_{0},
Q_{0}^{+} = \overline{Q_{0}} + Q_{1}.
Agora calculamos as transições passo a passo partindo de \,00 (isso responde à pergunta pois o circuito foi inicializado em \,00):
  • Estado atual \,00 ( Q_{1}=0,Q_{0}=0):
Q_{1}^{+} = 0 + 0 = 0,\qquad Q_{0}^{+} = \overline{0} + 0 = 1.
Próximo estado: \,01.
  • Estado atual \,01 ( Q_{1}=0,Q_{0}=1):
Q_{1}^{+} = 0 + 1 = 1,\qquad Q_{0}^{+} = \overline{1} + 0 = 0.
Próximo estado: \,10.
  • Estado atual \,10 ( Q_{1}=1,Q_{0}=0):
Q_{1}^{+} = 1 + 0 = 1,\qquad Q_{0}^{+} = \overline{0} + 1 = 1.
Próximo estado: \,11.
  • Estado atual \,11 ( Q_{1}=1,Q_{0}=1):
Q_{1}^{+} = 1 + 1 = 1,\qquad Q_{0}^{+} = \overline{1} + 1 = 1.
Próximo estado: \,11 (permanece em \,11).
Portanto, com \,X=1 e começando em \,00, a sequência é
00 \;\to\; 01 \;\to\; 10 \;\to\; 11,
e ao chegar em \,11 o circuito fica preso em \,11 (estado absorvente). Isso é um comportamento de contagem “crescente” parcial até \,11 e depois travamento em \,11.

Passo 6

Comparando com as alternativas do enunciado:
  • Para \,X=0 encontramos que o estado permanece em \,00.
  • Para \,X=1 encontramos que o circuito conta na sequência \,00\to01\to10\to11 e então permanece em \,11 indefinidamente.
    Isso corresponde exatamente à segunda alternativa listada no enunciado.

Resposta

Caso X=0, o estado permanecerá inalterado em 00 e caso X=1, o circuito se comportará como um contador crescente até chegar ao estado 11, onde então permanecerá indefinidamente

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