Exercício 15. Seja
uma função convexa própria e semicontínua inferiormente. Então, para quaisquer
, as seguintes afirmações são equivalentes:
(i)
.
(ii)
.
(iii)
.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado considera uma função convexa própria e semicontínua inferiormente
. Definimos o conjugado de Fenchel
e o subgradiente de
em
como
Queremos provar que, para quaisquer
, as três afirmações a seguir são equivalentes:
(i) .
(ii) .
(iii) .
(i)
(ii)
(iii)
Passo 2
Primeiro, lembramos a desigualdade de Fenchel, válida para toda
:
Isso decorre diretamente de
.
Portanto, a afirmação (i) é exatamente o caso de igualdade nessa desigualdade.
Portanto, a afirmação (i) é exatamente o caso de igualdade nessa desigualdade.
Passo 3
Provar (i)
(ii).
Se , então
Se
Logo, a função
atinge seu supremo em
. Isso implica que o vetor zero pertence ao subgradiente desse mapeamento em
. Em outras palavras, para todo
vale
isto é,
e por definição
. Assim (i)
(ii).
Passo 4
Provar (ii)
(i).
Se , então por definição de subgradiente
Se
Rearranjando,
Fazendo supremum em
obtemos
mas sempre vale
. Logo
o que prova (ii)
(i).
Passo 5
Provar (ii)
(iii).
Como também é convexa própria e semicontínua inferiormente, podemos aplicar exatamente o mesmo argumento trocando o papel de
e
. Alternativamente, note que a igualdade
é simétrica em e em
, de modo que (i)
(iii) segue por esse mesmo raciocínio. Em conjunto com (i)
(ii), concluímos (ii)
(iii).
Como
é simétrica em
Resposta
As três afirmações são equivalentes.