Exercício 15. Seja f: R^n longrightarrow R cup+infty uma função convexa própria e semicontínua inferiormente. Então, para quaisquer x, y in R^n, as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) lang<= x, yrang<==f(x)+f^*(y).
(ii) y in partial f(x).
(iii) x in partial f^*(y).

Passo 1

O enunciado considera uma função convexa própria e semicontínua inferiormente f:R^ntoRcup+infty. Definimos o conjugado de Fenchel
f^*(y)=supuinR^nl(lang<= u,yrang<= - f(u)r)
e o subgradiente de f em x como
partial f(x)=,yinR^n mid f(u)>= f(x)+lang<= y,u-xrang<= forall uinR^n
Queremos provar que, para quaisquer x,y, as três afirmações a seguir são equivalentes:
(i) lang<= x,yrang<= = f(x)+f^*(y).
(ii) yinpartial f(x).
(iii) xinpartial f^*(y).

Passo 2

Primeiro, lembramos a desigualdade de Fenchel, válida para toda x,y:
f(x)+f^*(y);>=;lang<= x,yrang<=
Isso decorre diretamente de
,f^*(y)=supu(lang<= u,yrang<= - f(u))>= lang<= x,yrang<= - f(x).
Portanto, a afirmação (i) é exatamente o caso de igualdade nessa desigualdade.

Passo 3

Provar (i) implies(ii).
Se lang<= x,yrang<= = f(x)+f^*(y), então
f^*(y) =lang<= x,yrang<= - f(x) =supul(lang<= u,yrang<= - f(u)r)
Logo, a função umapsto lang<= u,yrang<= - f(u) atinge seu supremo em u=x. Isso implica que o vetor zero pertence ao subgradiente desse mapeamento em x. Em outras palavras, para todo u vale
lang<= u,yrang<= - f(u) ;<=; lang<= x,yrang<= - f(x),
isto é,
f(u);>=;f(x)+lang<= y,u-xrang<=,
e por definição yinpartial f(x). Assim (i) implies(ii).

Passo 4

Provar (ii) implies(i).
Se yinpartial f(x), então por definição de subgradiente
f(u);>=;f(x)+lang<= y,u-xrang<= forall uinR^n
Rearranjando,
lang<= u,yrang<= - f(u) ;<=; lang<= x,yrang<= - f(x)
Fazendo supremum em u obtemos
f^*(y) =supul(lang<= u,yrang<= - f(u)r) <= lang<= x,yrang<= - f(x),
mas sempre vale f^*(y)>=lang<= x,yrang<= - f(x). Logo
f^*(y)=lang<= x,yrang<= - f(x) Longrightarrow f(x)+f^*(y)=lang<= x,yrang<=,
o que prova (ii) implies(i).

Passo 5

Provar (ii) iff(iii).
Como f^* também é convexa própria e semicontínua inferiormente, podemos aplicar exatamente o mesmo argumento trocando o papel de f e f^*. Alternativamente, note que a igualdade
lang<= x,yrang<==f(x)+f^*(y)
é simétrica em x,y e em f,f^*, de modo que (i) iff(iii) segue por esse mesmo raciocínio. Em conjunto com (i) iff(ii), concluímos (ii) iff(iii).

Resposta

As três afirmações são equivalentes.

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