Mostre que
lim x infty(1+ex)^x=e^e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxtoinftyl(1+exr)^x=e^e
O conteúdo aqui é limite de expressão do tipo l(1+tfraccxr)^x, que normalmente resolvemos usando logaritmo e o limite fundamental limtto0ln(1+t)t=1 ou regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para facilitar, definimos
L=limxtoinftyl(1+exr)^x
e reescrevemos em termos de exponencial e logaritmo:
L=limxtoinftyexpl[xln!l(1+tfracexr)r] =expl(limxtoinftyxln!l(1+tfracexr)r),
desde que o limite do expoente exista (finito ou pminfty).

Passo 3

Focamos no expoente
E=limxtoinftyxln!l(1+exr)
Notamos que, quando xtoinfty, tanto ln(1+e/x)to0 quanto 1/xto0, então podemos escrever
E=limxtoinftyln!l(1+tfracexr)1/x
e aplicar a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddxln!l(1+exr) =11+e/xcdotl(-ex^2r) =-ex^2+e,x
– Denominador:
ddxl(1xr)=-1x^2
Logo, pela regra de l’Hôpital,
E=limxtoinfty -ex^2+e,x-1x^2 =limxtoinftye;x^2x^2+e,x =e;limxtoinfty11+e/x =e

Passo 4

Como o expoente tende a e, voltamos à expressão original:
L=exp(E)=exp(e)=e^e

Resposta

e^e

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