Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo aqui é limite de expressão do tipo
, que normalmente resolvemos usando logaritmo e o limite fundamental
ou regra de l’Hôpital.
Passo 2
Para facilitar, definimos
e reescrevemos em termos de exponencial e logaritmo:
desde que o limite do expoente exista (finito ou
).
Passo 3
Focamos no expoente
Notamos que, quando
, tanto
quanto
, então podemos escrever
e aplicar a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
– Numerador:
– Numerador:
– Denominador:
Logo, pela regra de l’Hôpital,
Passo 4
Como o expoente tende a
, voltamos à expressão original: