5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
(sen x) y^prime+(cos x) y=cos 2 x ; y(pi2)=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de primeira ordem
(sin x),y'+(cos x),y=cos2x, yl(tfracpi2r)=tfrac12
Este é uma equação linear em y. Vamos colocar no formato padrão y'+P(x),y=Q(x) e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo tudo por sin x (que é diferente de zero perto de x=tfracpi2), obtemos
y'+cos xsin x,y=cos2xsin x
Aqui P(x)=cot x=cos xsin x e Q(x)=dfraccos2xsin x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x)=e^integral P(x),dx =e^integral cot x,dx =e^ln|sin x| =sin x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=sin x, vem
sin x,y'+cos x,y =cos2x,
e o lado esquerdo é exatamente ddxl(sin x,yr). Logo
ddxl(sin x,yr) =cos2x
Integramos ambos os lados:
sin x,y =integral cos2x,dx =tfrac12sin2x+C =sin xcos x +C

Passo 5

Isolando y,
y=sin xcos x +Csin x =cos x +C,csc x
Para achar C, usamos yl(tfracpi2r)=tfrac12. Como cos(tfracpi2)=0 e csc(tfracpi2)=1,
tfrac12 =0 +Ccdot1 Longrightarrow C=tfrac12

Resposta

boxedy(x)=cos x+12sin x

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