Exercício 15. (D.K. ex. 2.3) Seja phi in Cc^infty(R^n) uma função tal que phi >= 0, supp phi subset B1(0) e integral-infty^infty phi(x) d x=1. Definamos phiepsilon(x)=1epsilon^n phi(xepsilon). Dado psi in Cc^k(Omega), k in N0, mostre que:
a) partialx^alpha(psi * phiepsilon)=(partialx^alpha psi) * phiepsilon, para todo |alpha| <= k.
b) lim epsilon 0 psi * phiepsilon=psi em Cc^k(Omega).
c) Conclua que Cc^infty(Omega) é denso em Cc^k(Omega) no seguinte sentido: Dado varphi in Cc^k(Omega), existe uma sequência (varphij)j subset Cc^infty(Omega) tal que lim j infty varphij=varphi em Cc^k(Omega).

Passo 1

O enunciado considera um mollificador phiin Cc^infty(R^n) com phi>=0, suppphisubset B1(0) e integralR^nphi=1. Define-se
phiepsilon(x)=1epsilon^n,phi!l(tfracxepsilonr),
e para psiin Cc^k(Omega) estuda-se a convolução psi*phiepsilon. Precisamos mostrar:
a) troca de derivada parcial e convolução até ordem lvertalpharvert<= k;
b) psi*phiepsilontopsi em norma C^k quando epsilonto0;
c) concluir densidade de Cc^infty(Omega) em Cc^k(Omega).

Passo 2

Para todo multi-índice alpha com lvertalpharvert<= k, escrevemos
(psi*phiepsilon)(x) =integralR^npsi(x-y),phiepsilon(y),dy
Como psiin C^k e phiepsilon tem suporte compacto e massa unitária, podemos diferenciar sob o sinal de integral (teorema da diferenciação sob o integral, já que o integrando é contínuo e de suporte compacto). Assim
partialx^alpha(psi*phiepsilon)(x) =integralR^npartialx^alphapsi(x-y),phiepsilon(y),dy =(partial^alphapsi)*phiepsilon,(x)

Passo 3

Para mostrar a convergência em C^k, note que cada derivada de ordem alpha<= k satisfaz
partial^alpha(psi*phiepsilon) =(partial^alphapsi)*phiepsilon
Como partial^alphapsi é contínua num compacto, é uniformemente contínua e limitada. Para cada x,
l|(partial^alphapsi)*phiepsilon(x)-partial^alphapsi(x)r| =l|integrall[partial^alphapsi(x-y)-partial^alphapsi(x)r]phiepsilon(y),dyr| <=sup|y|<=epsilonl|partial^alphapsi(x-y)-partial^alphapsi(x)r|
Quando epsilonto0, o último supremo tende a zero uniformemente em x. Logo
|partial^alpha(psi*phiepsilon)-partial^alphapsi|L^inftyto0 forall,|alpha|<= k,
o que dá a convergência em norma C^k. Além disso, como suppphiepsilonsubset Bepsilon(0), se epsilon for menor que a distância do suporte de psi ao contorno de Omega, então supp(psi*phiepsilon)subsetOmega. Portanto psi*phiepsilonin Cc^infty(Omega).

Passo 4

Para concluir densidade, basta tomar varphij=varphi*phi1/j. Cada varphij é Cc^infty(Omega) e pelo Passo 3 temos
limjtoinfty|varphij-varphi|C^k=0
Isso mostra que Cc^infty(Omega) é denso em Cc^k(Omega).

Resposta

Foi provado que
a) partialx^alpha(psi*phiepsilon)=(partialx^alphapsi)*phiepsilon até lvertalpharvert<= k.
b) psi*phiepsilontopsi em C^k e supp(psi*phiepsilon)subsetOmega para epsilon pequeno.
c) Logo, definindo varphij=varphi*phi1/j, obtemos varphijin Cc^infty(Omega) e varphijtovarphi em C^k, mostrando a densidade desejada.

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