Exercício 15. (D.K. ex. 2.3) Seja uma função tal que e . Definamos . Dado , mostre que:
a) , para todo .
b) em .
c) Conclua que é denso em no seguinte sentido: Dado , existe uma sequência tal que em .
Passo 1
O enunciado considera um mollificador com , e . Define-se
e para estuda-se a convolução . Precisamos mostrar:
a) troca de derivada parcial e convolução até ordem ;
b) em norma quando ;
c) concluir densidade de em .
Passo 2
Para todo multi-índice com , escrevemos
Como e tem suporte compacto e massa unitária, podemos diferenciar sob o sinal de integral (teorema da diferenciação sob o integral, já que o integrando é contínuo e de suporte compacto). Assim
Passo 3
Para mostrar a convergência em , note que cada derivada de ordem satisfaz
Como é contínua num compacto, é uniformemente contínua e limitada. Para cada ,
Quando epsilonto0, o último supremo tende a zero uniformemente em x. Logo
o que dá a convergência em norma C^k. Além disso, como suppphiepsilonsubset Bepsilon(0), se epsilon for menor que a distância do suporte de psi ao contorno de Omega, então supp(psi*phiepsilon)subsetOmega. Portanto psi*phiepsilonin Cc^infty(Omega).
Passo 4
Para concluir densidade, basta tomar varphij=varphi*phi1/j. Cada varphij é Cc^infty(Omega) e pelo Passo 3 temos
limjtoinfty|varphij-varphi|C^k=0
Isso mostra que Cc^infty(Omega) é denso em Cc^k(Omega).
Resposta
Foi provado que
a) partialx^alpha(psi*phiepsilon)=(partialx^alphapsi)*phiepsilon até lvertalpharvert<= k.
b) psi*phiepsilontopsi em C^k e supp(psi*phiepsilon)subsetOmega para epsilon pequeno.
c) Logo, definindo varphij=varphi*phi1/j, obtemos varphijin Cc^infty(Omega) e varphijtovarphi em C^k, mostrando a densidade desejada.