1 Considere os pontos A=(1,2,-1) e B=(-3,0,2). Determine a equação da reta r que passa por A e B. Encontre o ponto P in r tal que A P=3 P B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2,-1) e B=(-3,0,2) e pede: (i) a equação da reta r que passa por A e B; (ii) o ponto Pin r tal que AP=3,PB. Vamos usar geometria vetorial: achar o vetor diretor de r, escrever a reta em forma paramétrica e depois impor a proporção vetorial.

Passo 2

Calcular o vetor diretor d=AB:
d = B - A = (-3,0,2) - (1,2,-1) = (-4,-2,3)

Passo 3

Escrever a reta r de forma paramétrica, partindo de A e usando d:
r:;(x,y,z) = (1,2,-1) + t,(-4,-2,3), tin R

Passo 4

Para um ponto genérico Pin r definimos
P = A + t,d,
logo
AP = t,d
e
PB = B-P = d - t,d = (1-t),d
A condição AP=3,PB vira
t,d = 3,(1-t),d,
e como dneq0 podemos cancelar, ficando
t = 3,(1-t)

Passo 5

Resolver para t:
t = 3 - 3t Longrightarrow 4t = 3 Longrightarrow t = 34
Substituindo em P = A + t,d:
P = (1,2,-1) + 34(-4,-2,3) = l(1-3,;2-tfrac32,;-1+tfrac94r) = l(-2,;tfrac12,;tfrac54r)

Resposta

A equação da reta é
r:;(x,y,z) = (1,2,-1) + t(-4,-2,3), tin R,
e o ponto P que satisfaz AP=3,PB é
P = l(-2,tfrac12,tfrac54r)

Exercícios relacionados