Verifique quais das seguintes aplicações são lineares:
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+y, x, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x+y,,x,,y)
é linear. Para isso vamos usar a definição de transformação linear em espaços vetoriais: precisa satisfazer aditividade e homogeneidade escalar.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja (x1,y1) e (x2,y2) dois vetores em R^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = Tl(x1+x2,;y1+y2r) = l((x1+x2)+(y1+y2),;x1+x2,;y1+y2r)
Por outro lado,
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (x1+y1,,x1,,y1) + (x2+y2,,x2,,y2) = (x1+y1 + x2+y2,;x1+x2,;y1+y2)
Como os dois resultados coincidem, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade escalar. Seja alphainR e (x,y)inR^2. Então
Tl(alpha(x,y)r) = T(alpha x,;alpha y) = (alpha x + alpha y,;alpha x,;alpha y) = alpha,(x+y,,x,,y) = alpha,T(x,y)
Logo T(alpha u)=alpha,T(u).

Resposta

A aplicação T satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto é linear.

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