Exercício 16 - Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
-x^{2}+4 y^{2}-z^{2}=4
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado define a superfície S\subset\mathbb{R}^3 dada por
-x^{2} + 4y^{2} - z^{2} = 4.
Precisamos:
– Em (a) encontrar as interseções de S com os eixos x, y e z.
– Em (b) determinar os traços de S nos planos coordenados xy, xz e yz.
– Em (c) achar os traços em planos paralelos a xz, i.e.\ y=k.
– Em (d) usar tudo isso para esboçar S.
O conteúdo principal é o estudo de quadricas e traços em planos.

Passo 2

Para as interseções com os eixos, anoto duas das coordenadas iguais a zero e resolvo para a terceira:
  1. Eixo x: y=0, z=0
-x^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4,
sem solução real.
2. Eixo y: x=0, z=0
4y^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Logo as interseções são (0,1,0) e (0,-1,0).
3. Eixo z: x=0, y=0
-z^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad z^{2}=-4,
sem solução real.

Passo 3

Traços em planos coordenados:
– Plano x=0: a equação fica
4y^{2}-z^{2}=4
ou
\frac{y^{2}}{1}-\frac{z^{2}}{4}=1,
que é uma hipérbole no plano yz, com vértices em (y,z)=(\pm1,0) e eixos principais ao longo de y.
– Plano y=0: a equação fica
-x^{2}-z^{2}=4
ou
x^{2}+z^{2}=-4,
sem pontos reais; não há traço em y=0.
– Plano z=0: a equação fica
-x^{2}+4y^{2}=4
ou
\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{4}=1,
uma hipérbole no plano xy, com vértices em (0,\pm1) e eixos principais ao longo de y.

Passo 4

Traços em planos y=k:
Substituo y=k em
-x^{2}+4k^{2}-z^{2}=4
e isolando
x^{2}+z^{2}=4k^{2}-4=4\bigl(k^{2}-1\bigr).
– Se \lvert k\rvert>1, então 4(k^{2}-1)>0 e cada traço é um círculo de raio \sqrt{4(k^{2}-1)} em y=k.
– Se \lvert k\rvert<1, não há solução real.
– Se k=\pm1, o raio é zero e sobra o ponto (0,\pm1,0).

Passo 5

Com tudo isso vemos que S é um hiperboloide de duas folhas, com eixo em y:
– Não há partes da superfície em \lvert y\rvert<1.
– Em y=\pm1 aparecem dois “cintos” reduzidos a pontos.
– Para \lvert y\rvert>1 temos seções circulares que crescem conforme \lvert y\rvert aumenta.
– Nas projeções em xz não há nada, e em xy e yz aparecem hipérboles abertas ao longo de y.

Resposta

(a) As únicas interseções são (0,1,0) e (0,-1,0).
(b) Em x=0 e z=0 aparecem hipérboles \frac{y^{2}}{1}-\frac{z^{2}}{4}=1 e \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{4}=1,
e em y=0 não há traço.
(c) Em y=k surge
x^{2}+z^{2}=4(k^{2}-1),
que é círculo para \lvert k\rvert>1, ponto para k=\pm1 e vazio para \lvert k\rvert<1.
(d) O esboço é de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y, com “cintos” mínimos em y=\pm1.

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