Exercício 16 - Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
(c) Determine e esboce os traços da superfície
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
Passo 1
O enunciado define a superfície
dada por
Precisamos:
– Em (a) encontrar as interseções de com os eixos
,
e
.
– Em (b) determinar os traços de nos planos coordenados
,
e
.
– Em (c) achar os traços em planos paralelos a , i.e.\
.
– Em (d) usar tudo isso para esboçar .
O conteúdo principal é o estudo de quadricas e traços em planos.
– Em (a) encontrar as interseções de
– Em (b) determinar os traços de
– Em (c) achar os traços em planos paralelos a
– Em (d) usar tudo isso para esboçar
O conteúdo principal é o estudo de quadricas e traços em planos.
Passo 2
Para as interseções com os eixos, anoto duas das coordenadas iguais a zero e resolvo para a terceira:
- Eixo
: , dá
sem solução real.
2. Eixo :
,
dá
2. Eixo
Logo as interseções são
e
.
3. Eixo :
,
dá
3. Eixo
sem solução real.
Passo 3
Traços em planos coordenados:
– Plano
: a equação fica
ou
que é uma hipérbole no plano
, com vértices em
e eixos principais ao longo de
.
– Plano
: a equação fica
ou
sem pontos reais; não há traço em
.
– Plano
: a equação fica
ou
uma hipérbole no plano
, com vértices em
e eixos principais ao longo de
.
Passo 4
Traços em planos
:
Substituo
em
e isolando
– Se
, então
e cada traço é um círculo de raio
em
.
– Se , não há solução real.
– Se , o raio é zero e sobra o ponto
.
– Se
– Se
Passo 5
Com tudo isso vemos que
é um hiperboloide de duas folhas, com eixo em
:
– Não há partes da superfície em .
– Em aparecem dois “cintos” reduzidos a pontos.
– Para temos seções circulares que crescem conforme
aumenta.
– Nas projeções em não há nada, e em
e
aparecem hipérboles abertas ao longo de
.
– Não há partes da superfície em
– Em
– Para
– Nas projeções em
Resposta
(a) As únicas interseções são
e
.
(b) Em e
aparecem hipérboles
e
,
e em não há traço.
(c) Em surge
(b) Em
e em
(c) Em
que é círculo para
, ponto para
e vazio para
.
(d) O esboço é de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo , com “cintos” mínimos em
.
(d) O esboço é de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo