Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
- A expressão a simplificar é
. - O enunciado diz para considerar que todos os denominadores são diferentes de zero. Portanto, já temos a restrição óbvia
, pois aparece no denominador das frações internas. - Pedido: escrever a expressão numa forma algébrica mais simples, usando fatoração, propriedades de frações e operações com polinômios.
Passo 2
Transformar a parte superior (o numerador da grande fração) em uma única fração. Regra usada: para somar um número com uma fração, coloca-se o número sobre o mesmo denominador e soma-se os numeradores.
Escrevendo
Agora desenvolvendo a multiplicação e somando termos:
logo o numerador fica
Passo 3
Fazer o mesmo para a parte inferior (o denominador da grande fração). Mesma ideia: escrever
sobre o denominador comum
e somar.
Calculando
, obtemos
Passo 4
Agora temos a grande fração como quociente de duas frações:
Regra usada: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco). Ou, de forma imediata, se duas frações têm o mesmo denominador não-nulo, o denominador comum cancela:
Aplicando isso com
,
,
(e lembrando que
por hipótese),
Observação sobre domínio: além de
(para que as frações internas existam), é preciso garantir que o denominador final não seja zero, isto é
. Portanto também devemos excluir
. Assim a simplificação só é equivalente à expressão original quando
e
.
Passo 5
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): escolher
(que respeita as restrições). Calcular a expressão original:
logo o valor é
. Na forma simplificada:
Confere.