Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}}
As informações/condições dadas (pegando exatamente do enunciado):
  • Todos os denominadores são diferentes de zero.
    Isto implica, explicitamente, que \;x\neq 0\; e \;y\neq 0\; e também que o denominador da fração composta não é zero, ou seja \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}\neq 0, o que equivale a \;x^{2}\neq y^{2}, portanto \;x\neq y e \;x\neq -y.
    O que se pede: obter uma forma mais simples e factorizada dessa expressão, usando fatorações, operações de frações e cancelamentos sempre que possível.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador somando as duas frações \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{y}. Para somar frações, usamos o mesmo denominador comum xy:
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}.

Passo 3

Agora simplificamos o denominador \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}. Também usamos denominador comum x^{2}y^{2}:
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}y^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}.

Passo 4

Reescrevendo a fração composta com os resultados dos passos anteriores:
\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}} = \frac{\dfrac{x+y}{xy}}{\dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}}.
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos pela recíproca do denominador:
\frac{\dfrac{x+y}{xy}}{\dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}} = \frac{x+y}{xy}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.

Passo 5

Fazemos cancelamentos algébricos simples. Observe que x^{2}y^{2}=(xy)\cdot(xy), então um fator xy cancela com o denominador xy:
\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}-x^{2}} = \frac{x+y}{1}\cdot\frac{xy}{y^{2}-x^{2}} = \frac{(x+y)\,xy}{y^{2}-x^{2}}.

Passo 6

Agora fatoramos o denominador y^{2}-x^{2} como diferença de quadrados:
y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)=(y-x)(x+y).
Substituindo na expressão e cancelando o fator comum (x+y) (lembrando que isso só é válido se x+y\neq 0, condição já coberta por x\neq -y mencionada no Passo 1):
\frac{(x+y)\,xy}{(y-x)(x+y)}=\frac{xy}{y-x}.

Passo 7

Observação sobre domínio e equivalência: a expressão simplificada \dfrac{xy}{y-x} é igual à expressão original sempre que as condições do Passo 1 forem satisfeitas, isto é, para \;x\neq 0,\;y\neq 0,\;x\neq y,\;x\neq -y. Essas restrições garantem que não houve divisão por zero em nenhum passo e que os cancelamentos são válidos.

Passo 8

Verificação numérica rápida para conferir que deu certo (exemplo): escolha \;x=2, \;y=3.
Calculando a expressão original:
\frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}} = \frac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{5}{36}} = \dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{36}{5}=6.
Calculando a expressão simplificada:
\frac{xy}{y-x}=\frac{2\cdot 3}{3-2}=6.
Concorda: simplificação está correta neste exemplo.

Resposta

\displaystyle \frac{xy}{y-x}

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