Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
As informações/condições dadas (pegando exatamente do enunciado):
- Todos os denominadores são diferentes de zero.
Isto implica, explicitamente, quee e também que o denominador da fração composta não é zero, ou seja , o que equivale a , portanto e .
O que se pede: obter uma forma mais simples e factorizada dessa expressão, usando fatorações, operações de frações e cancelamentos sempre que possível.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador somando as duas frações
e
. Para somar frações, usamos o mesmo denominador comum
:
Passo 3
Agora simplificamos o denominador
. Também usamos denominador comum
:
Passo 4
Reescrevendo a fração composta com os resultados dos passos anteriores:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos pela recíproca do denominador:
Passo 5
Fazemos cancelamentos algébricos simples. Observe que
, então um fator
cancela com o denominador
:
Passo 6
Agora fatoramos o denominador
como diferença de quadrados:
Substituindo na expressão e cancelando o fator comum
(lembrando que isso só é válido se
, condição já coberta por
mencionada no Passo 1):
Passo 7
Observação sobre domínio e equivalência: a expressão simplificada
é igual à expressão original sempre que as condições do Passo 1 forem satisfeitas, isto é, para
. Essas restrições garantem que não houve divisão por zero em nenhum passo e que os cancelamentos são válidos.
Passo 8
Verificação numérica rápida para conferir que deu certo (exemplo): escolha
,
.
Calculando a expressão original:
Calculando a expressão original:
Calculando a expressão simplificada:
Concorda: simplificação está correta neste exemplo.