Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes (pego do próprio enunciado): os denominadores são diferentes de zero, então vale
O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma mais simples, usando operações com frações e fatorações quando possível.
Passo 2
Lembrete rápido sobre subtração de frações (fórmula que vou usar): para quaisquer
com
e
,
Vou aplicar essa fórmula para combinar as duas frações internas
e
sobre um denominador comum.
Passo 3
Aplicando a fórmula de subtração de frações às duas frações internas:
Coloquei o numerador como a diferença dos produtos cruzados e o denominador como o produto dos denominadores.
Passo 4
Agora vou expandir os dois produtos do numerador e simplificá-los termo a termo:
Subtraindo:
Agrupando termos iguais e cancelando:
restando apenas
Passo 5
Substituindo essa simplificação no resultado da subtração de frações:
Agora voltamos à expressão original, que divide essa diferença por
:
Passo 6
Dividir por
equivale a multiplicar por
. Assim:
Como
, pode-se cancelar o fator
no numerador com o
do divisor: