Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{\frac{x+h}{x+h-3}-\frac{x}{x-3}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\dfrac{x+h}{x+h-3}-\dfrac{x}{x-3}}{h}.
Informações relevantes (pego do próprio enunciado): os denominadores são diferentes de zero, então vale
x+h-3\neq 0,\qquad x-3\neq 0,\qquad h\neq 0.
O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma mais simples, usando operações com frações e fatorações quando possível.

Passo 2

Lembrete rápido sobre subtração de frações (fórmula que vou usar): para quaisquer a,b,c,d com b\neq0 e d\neq0,
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}.
Vou aplicar essa fórmula para combinar as duas frações internas \dfrac{x+h}{x+h-3} e \dfrac{x}{x-3} sobre um denominador comum.

Passo 3

Aplicando a fórmula de subtração de frações às duas frações internas:
\dfrac{x+h}{x+h-3}-\dfrac{x}{x-3} = \frac{(x+h)(x-3)-x(x+h-3)}{(x+h-3)(x-3)}.
Coloquei o numerador como a diferença dos produtos cruzados e o denominador como o produto dos denominadores.

Passo 4

Agora vou expandir os dois produtos do numerador e simplificá-los termo a termo:
(x+h)(x-3)=x^2-3x+hx-3h,
x(x+h-3)=x^2+xh-3x.
Subtraindo:
(x+h)(x-3)-x(x+h-3)=(x^2-3x+hx-3h)-(x^2+xh-3x).
Agrupando termos iguais e cancelando:
x^2-x^2=0,\qquad -3x-(-3x)=0,\qquad hx-xh=0,
restando apenas
(x+h)(x-3)-x(x+h-3)=-3h.

Passo 5

Substituindo essa simplificação no resultado da subtração de frações:
\dfrac{x+h}{x+h-3}-\dfrac{x}{x-3}=\frac{-3h}{(x+h-3)(x-3)}.
Agora voltamos à expressão original, que divide essa diferença por h:
\frac{\dfrac{x+h}{x+h-3}-\dfrac{x}{x-3}}{h} = \frac{\dfrac{-3h}{(x+h-3)(x-3)}}{h}.

Passo 6

Dividir por h equivale a multiplicar por \dfrac{1}{h}. Assim:
\frac{\dfrac{-3h}{(x+h-3)(x-3)}}{h} = \frac{-3h}{(x+h-3)(x-3)}\cdot\frac{1}{h}.
Como h\neq0, pode-se cancelar o fator h no numerador com o h do divisor:
\frac{-3h}{(x+h-3)(x-3)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-3}{(x+h-3)(x-3)}.

Resposta

-\frac{3}{(x+h-3)(x-3)}

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