Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}}{x-a}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}}{x-a}.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • A expressão é uma fração cujo numerador é \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} e o denominador é x-a.
  • Considerar que todos os denominadores são diferentes de zero, logo x\neq0, a\neq0 e também devemos ter x\neq a (para que o denominador x-a seja não nulo).
    O objetivo: reescrever essa expressão na forma mais simples possível, usando fatorações e propriedades de frações.

Passo 2

Primeiro vamos juntar a diferença do numerador numa única fração. Para somar/subtrair frações usamos o mesmo denominador comum: aqui o denominador comum é x^{2}a^{2}. Calculamos:
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{x^{2}a^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}a^{2}}=\frac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}}.

Passo 3

Substituindo esse resultado de volta na expressão original, obtemos uma divisão de frações:
\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{a^{2}}}{x-a} = \frac{\dfrac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}}}{x-a}.
Lembrando que dividir por x-a é o mesmo que multiplicar pelo recíproco, isto é:
\frac{\dfrac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}}}{x-a} = \frac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}}\cdot\frac{1}{x-a} = \frac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}(x-a)}.

Passo 4

Agora fatoramos o numerador a^{2}-x^{2}. Este é um caso clássico chamado diferença de quadrados; a fórmula é
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Aplicando com u=a e v=x, temos
a^{2}-x^{2}=(a-x)(a+x).

Passo 5

Substituindo essa fatoração na fração, fica
\frac{a^{2}-x^{2}}{x^{2}a^{2}(x-a)} = \frac{(a-x)(a+x)}{x^{2}a^{2}(x-a)}.
Observe que existe um fator (a-x) no numerador e um fator (x-a) no denominador. Como (a-x)=-(x-a), podemos cancelar esses fatores, ficando com um sinal negativo:
\frac{(a-x)(a+x)}{x^{2}a^{2}(x-a)} = \frac{-(x-a)(a+x)}{x^{2}a^{2}(x-a)} = -\frac{a+x}{x^{2}a^{2}}.

Passo 6

Reescrevendo de forma convencional (colocando x+a na ordem habitual), a forma simplificada é
-\frac{x+a}{a^{2}x^{2}}.
Lembrando novamente as restrições do domínio: x\neq0, a\neq0 e x\neq a.

Resposta

-\frac{x+a}{a^{2}x^{2}}

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