Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- A expressão é uma fração cujo numerador é
e o denominador é . - Considerar que todos os denominadores são diferentes de zero, logo
, e também devemos ter (para que o denominador seja não nulo).
O objetivo: reescrever essa expressão na forma mais simples possível, usando fatorações e propriedades de frações.
Passo 2
Primeiro vamos juntar a diferença do numerador numa única fração. Para somar/subtrair frações usamos o mesmo denominador comum: aqui o denominador comum é
. Calculamos:
Passo 3
Substituindo esse resultado de volta na expressão original, obtemos uma divisão de frações:
Lembrando que dividir por
é o mesmo que multiplicar pelo recíproco, isto é:
Passo 4
Agora fatoramos o numerador
. Este é um caso clássico chamado diferença de quadrados; a fórmula é
Aplicando com
e
, temos
Passo 5
Substituindo essa fatoração na fração, fica
Observe que existe um fator
no numerador e um fator
no denominador. Como
, podemos cancelar esses fatores, ficando com um sinal negativo:
Passo 6
Reescrevendo de forma convencional (colocando
na ordem habitual), a forma simplificada é
Lembrando novamente as restrições do domínio:
,
e
.