Exercício 6.15. Um tubo horizontal de diâmetro 4^{\prime \prime} conduz um produto a 85^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 1230 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}, tem 0,8 \mathrm{~m} de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 485 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1 / 8^{\prime \prime} de espessura e 2^{\prime \prime} de altura. Pede-se :
a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver aqui, só organizar os dados).
Dados fornecidos:
Diâmetro do tubo: 4^{\prime\prime}.
Temperatura do produto no interior: T_i=85^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de película interno: h_i=1230\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
Material do tubo: aço, condutividade térmica k=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}.
Comprimento do tubo: L=0{,}8\\ \mathrm{m}.
Tanque de água a T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de película externo (água): h_o=485\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
Aletas: 1{,}5 aletas por centímetro de tubo.
Aletas circulares feitas de chapa de aço de espessura 1/8^{\prime\prime} e altura 2^{\prime\prime}.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
(b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Observações importantes que vou assumir (porque o enunciado não dá espessura do tubo):
Vou assumir parede do tubo muito fina (espessura pequena) de modo que a resistência de condução radial através da parede é desprezível. Se houvesse espessura fornecida, incluiríamos a resistência \ln(r_o/r_i)/(2\pi k L). Justifico: sem a espessura é o procedimento usual — e o enunciado dá k provavelmente para as aletas.
Passo 2
Conversões de unidades e cálculo de áreas básicas (tudo passo a passo).
Converter polegadas para metros:
1^{\prime\prime}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
D = 4^{\prime\prime}=4\cdot0{,}0254=0{,}1016\\ \mathrm{m}.
Raio do tubo (externo ≈ interno, pela hipótese de parede fina):
r = \frac{D}{2}=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
Dimensões das aletas:
\text{espessura da aleta } t = \frac{1}{8}^{\prime\prime}=0{,}125^{\prime\prime}=0{,}125\cdot0{,}0254=0{,}003175\\ \mathrm{m}.
\text{altura radial da aleta } b=2^{\prime\prime}=2\cdot0{,}0254=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
N = 150\cdot L = 150\cdot0{,}8 = 120\\ \text{aletas}.
Área externa do cilindro lisa (sem aletas), usada para convecção interna também como área de referência:
A_c = \pi D L = \pi\cdot0{,}1016\cdot0{,}8 = 0{,}25524\\ \mathrm{m}^2\quad(\text{aprox.}).
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_\infty = 85-20 = 65^\circ\mathrm{C}.
Passo 3
Resolução da parte (a): fluxo de calor sem aletas — teoria e cálculo.
Teoria rápida (passo-a-passo didático):
Quando a parede é muito fina, as resistências térmicas em série entre o fluido interno e o fluido externo são apenas as resistências convectivas internas e externas.
Resistência convectiva de um fluido sobre uma área A é R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}.
Se as áreas interna e externa forem praticamente iguais (hipótese de parede fina), podemos somar as resistências e obter:
q_{\text{sem aletas}} = U A_c \Delta T = 347{,}74\cdot0{,}25524\cdot65 = 5770\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação rápida: sem aletas, o gargalo aqui é a resistência interna+externa; numericamente resulta em cerca de 5{,}77\times10^3\\ \mathrm{kcal/h}.
Passo 4
Preparação para a parte (b): ideia de modelagem das aletas e fórmula usada.
Estratégia pedagógica:
Cada aleta circular (anel) transfere calor a partir da base (superfície do tubo) para a água. A temperatura da base da aleta é a temperatura da superfície do tubo que chamarei T_s (idealizamos a superfície uniforme).
O calor total extraído para a água é a soma do calor que sai pela superfície lisa restante do tubo (entre as aletas) e o calor que sai através das aletas. Para pequenas espessuras das aletas usamos o modelo de “aleta de perfi l retangular unwrapped” (desenrolando o anel) — isto é padrão: tratamos a aleta como uma placa fina cuja espessura axial é t e comprimento radial é b.
Para uma aleta de secção uniforme, o parâmetro
m=\sqrt{\frac{h_o P}{k A_c}}
é usado, onde P é o perímetro molhado da seção transversal e A_c é a área da seção transversal da aleta. Para a placa fina de espessura t e largura unitária em torno da circunferência, tem-se P=2 (duas faces) e A_c=t\cdot1, então
m=\sqrt{\frac{2 h_o}{k t}}.
A eficiência da aleta (aproximação para a aleta com as duas faces perdendo calor) é
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m b)}{m b}.
O calor de uma única aleta, aproximando a temperatura da base por T_s, é
Comentário didático: as aletas aumentam muito a área efetiva (de 0{,}255\\ \mathrm{m}^2 para uma área equivalente efetiva \approx1{,}065\\ \mathrm{m}^2), o que reduz bastante R_{\text{ext}} e aumenta o fluxo total. Note que a eficiência da aleta é baixa (\approx0{,}225) porque as aletas são relativamente longas em relação à condutividade/espessura (o parâmetro m b é grande), mas mesmo com eficiência ~0,225 o grande número de aletas dá um aumento considerável no fluxo.