Exercício 6.15. Um tubo horizontal de diâmetro 4^{\prime \prime} conduz um produto a 85^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 1230 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}, tem 0,8 \mathrm{~m} de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 485 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1 / 8^{\prime \prime} de espessura e 2^{\prime \prime} de altura. Pede-se :
a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver aqui, só organizar os dados).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do tubo: 4^{\prime\prime}.
  • Temperatura do produto no interior: T_i=85^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película interno: h_i=1230\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Material do tubo: aço, condutividade térmica k=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento do tubo: L=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Tanque de água a T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película externo (água): h_o=485\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Aletas: 1{,}5 aletas por centímetro de tubo.
  • Aletas circulares feitas de chapa de aço de espessura 1/8^{\prime\prime} e altura 2^{\prime\prime}.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
(b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Observações importantes que vou assumir (porque o enunciado não dá espessura do tubo):
  • Vou assumir parede do tubo muito fina (espessura pequena) de modo que a resistência de condução radial através da parede é desprezível. Se houvesse espessura fornecida, incluiríamos a resistência \ln(r_o/r_i)/(2\pi k L). Justifico: sem a espessura é o procedimento usual — e o enunciado dá k provavelmente para as aletas.

Passo 2

Conversões de unidades e cálculo de áreas básicas (tudo passo a passo).
Converter polegadas para metros:
1^{\prime\prime}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
D = 4^{\prime\prime}=4\cdot0{,}0254=0{,}1016\\ \mathrm{m}.
Raio do tubo (externo ≈ interno, pela hipótese de parede fina):
r = \frac{D}{2}=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
Dimensões das aletas:
\text{espessura da aleta } t = \frac{1}{8}^{\prime\prime}=0{,}125^{\prime\prime}=0{,}125\cdot0{,}0254=0{,}003175\\ \mathrm{m}.
\text{altura radial da aleta } b=2^{\prime\prime}=2\cdot0{,}0254=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
Densidade de aletas:
1{,}5\\ \text{aletas/cm} = 1{,}5\cdot100=150\\ \text{aletas/m}.
Número total de aletas no comprimento L:
N = 150\cdot L = 150\cdot0{,}8 = 120\\ \text{aletas}.
Área externa do cilindro lisa (sem aletas), usada para convecção interna também como área de referência:
A_c = \pi D L = \pi\cdot0{,}1016\cdot0{,}8 = 0{,}25524\\ \mathrm{m}^2\quad(\text{aprox.}).
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_\infty = 85-20 = 65^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Resolução da parte (a): fluxo de calor sem aletas — teoria e cálculo.
Teoria rápida (passo-a-passo didático):
  • Quando a parede é muito fina, as resistências térmicas em série entre o fluido interno e o fluido externo são apenas as resistências convectivas internas e externas.
  • Resistência convectiva de um fluido sobre uma área A é R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}.
  • Se as áreas interna e externa forem praticamente iguais (hipótese de parede fina), podemos somar as resistências e obter:
R_{\text{total}} = \frac{1}{h_i A_c} + \frac{1}{h_o A_c} = \frac{1}{A_c}\left(\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_o}\right).
  • O fluxo de calor é
q = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} = A_c\,\Delta T\left(\frac{1}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{1}{h_o}}\right)=U A_c \Delta T,
onde U é o coeficiente global:
U=\frac{1}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{1}{h_o}}.
Cálculo numérico:
\frac{1}{h_i}=\frac{1}{1230}=0{,}000813008\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal},
\frac{1}{h_o}=\frac{1}{485}=0{,}002061856\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_o}=0{,}002874864\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
U=\frac{1}{0{,}002874864}=347{,}74\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
q_{\text{sem aletas}} = U A_c \Delta T = 347{,}74\cdot0{,}25524\cdot65 = 5770\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação rápida: sem aletas, o gargalo aqui é a resistência interna+externa; numericamente resulta em cerca de 5{,}77\times10^3\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 4

Preparação para a parte (b): ideia de modelagem das aletas e fórmula usada.
Estratégia pedagógica:
  • Cada aleta circular (anel) transfere calor a partir da base (superfície do tubo) para a água. A temperatura da base da aleta é a temperatura da superfície do tubo que chamarei T_s (idealizamos a superfície uniforme).
  • O calor total extraído para a água é a soma do calor que sai pela superfície lisa restante do tubo (entre as aletas) e o calor que sai através das aletas. Para pequenas espessuras das aletas usamos o modelo de “aleta de perfi l retangular unwrapped” (desenrolando o anel) — isto é padrão: tratamos a aleta como uma placa fina cuja espessura axial é t e comprimento radial é b.
  • Para uma aleta de secção uniforme, o parâmetro
m=\sqrt{\frac{h_o P}{k A_c}}
é usado, onde P é o perímetro molhado da seção transversal e A_c é a área da seção transversal da aleta. Para a placa fina de espessura t e largura unitária em torno da circunferência, tem-se P=2 (duas faces) e A_c=t\cdot1, então
m=\sqrt{\frac{2 h_o}{k t}}.
  • A eficiência da aleta (aproximação para a aleta com as duas faces perdendo calor) é
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m b)}{m b}.
  • O calor de uma única aleta, aproximando a temperatura da base por T_s, é
q_{\text{al}}=\eta_f\\ h_o\\ A_{f}\\ (T_s-T_\infty),
onde A_f é a área exposta da aleta (duas faces + borda da ponta).
  • A área externa total efetiva que participa da convecção considerando eficiência é
A_{\text{ext,efetiva}} = A_{\text{bare}} + \eta_f\\ A_{f,\text{total}},
onde A_{\text{bare}} é a área do cilindro não ocupada por raízes das aletas e A_{f,\text{total}}=N\cdot A_f.
Finalmente, com base uniforme T_s e parede fina, a resistência externa combinada é
R_{\text{ext}}=\frac{1}{h_o\\ A_{\text{ext,efetiva}}}
e a resistência interna é R_{\text{int}}=1/(h_i A_c). Então
q_{\text{com aletas}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{int}}+R_{\text{ext}}}.

Passo 5

Cálculos das aletas (valores numéricos detalhados).
Cálculo de m:
m=\sqrt{\frac{2 h_o}{k t}}=\sqrt{\frac{2\cdot485}{40\cdot0{,}003175}}.
Calculemos passo a passo:
40\cdot0{,}003175=0{,}127,
2\cdot485=970,
\frac{970}{0{,}127}=7637{,}7953,
m=\sqrt{7637{,}7953}=87{,}422\\ \mathrm{m}^{-1}.
Produto m b:
m b = 87{,}422\cdot0{,}0508=4{,}442.
Eficiência da aleta:
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(4{,}442)}{4{,}442}\approx\frac{0{,}99969}{4{,}442}=0{,}2251.
(Comentário didático: \operatorname{tanh}(4{,}442) é praticamente 1, por isso \eta_f\approx 1/(m b) quando m b é grande.)
Área da aleta (uma aleta):
  • Circunferência na raiz (base): C=2\pi r=2\pi\cdot0{,}0508=0{,}31919\\ \mathrm{m}.
  • Área das duas faces (por aleta): 2\cdot(C\cdot b)=2\cdot0{,}31919\cdot0{,}0508=0{,}032445\\ \mathrm{m}^2.
  • Área da borda externa (ponta) aproximada: A_{\text{ponta}}=t\cdot 2\pi (r+b)=0{,}003175\cdot2\pi\cdot0{,}1016=0{,}002027\\ \mathrm{m}^2.
  • Área total por aleta:
A_f = 0{,}032445 + 0{,}002027 = 0{,}034472\\ \mathrm{m}^2.
Área total de todas as aletas:
A_{f,\text{total}} = N\cdot A_f = 120\cdot0{,}034472 = 4{,}1366\\ \mathrm{m}^2.
Área do cilindro “descoberta” (entre raízes das aletas):
  • Espaço axial ocupado por todas as aletas (raiz = espessura t cada):
L_{\text{ocupado}} = N\cdot t = 120\cdot0{,}003175 = 0{,}381\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento axial livre:
L_{\text{livre}} = L - L_{\text{ocupado}} = 0{,}8 - 0{,}381 = 0{,}419\\ \mathrm{m}.
  • Área externa “bare”:
A_{\text{bare}} = C\cdot L_{\text{livre}} = 0{,}31919\cdot0{,}419 = 0{,}13377\\ \mathrm{m}^2.
Área efetiva externa considerando eficiência das aletas:
A_{\text{ext,efetiva}} = A_{\text{bare}} + \eta_f\\ A_{f,\text{total}} =0{,}13377 + 0{,}2251\cdot4{,}1366 = 1{,}0648\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Cálculo da resistência externa efetiva, resistência interna e fluxo com aletas.
Resistência externa efetiva:
R_{\text{ext}}=\frac{1}{h_o\\ A_{\text{ext,efetiva}}}=\frac{1}{485\cdot1{,}0648}=0{,}001935\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Resistência interna (já calculada no passo 3):
R_{\text{int}}=\frac{1}{h_i A_c}=\frac{1}{1230\cdot0{,}25524}=0{,}003180\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_{\text{int}}+R_{\text{ext}}=0{,}003180+0{,}001935=0{,}005115\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Fluxo de calor com aletas:
q_{\text{com aletas}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\frac{65}{0{,}005115}=12709\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático: as aletas aumentam muito a área efetiva (de 0{,}255\\ \mathrm{m}^2 para uma área equivalente efetiva \approx1{,}065\\ \mathrm{m}^2), o que reduz bastante R_{\text{ext}} e aumenta o fluxo total. Note que a eficiência da aleta é baixa ( \approx0{,}225) porque as aletas são relativamente longas em relação à condutividade/espessura (o parâmetro m b é grande), mas mesmo com eficiência ~0,225 o grande número de aletas dá um aumento considerável no fluxo.

Resposta

q_{\text{sem aletas}} \approx 5770\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}
q_{\text{com aletas}} \approx 12710\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}

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