Exercício 6.14. Um tubo de aço de
de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de
na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a
e com coeficiente de película de
, a uma razão de
. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica
. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e
de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de
de altura e
de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados geométricos e físicos:
- Comprimento do tubo:
. - Diâmetro do tubo:
. - Temperatura da superfície externa do tubo:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de película (convecção):
. - Condutividade térmica das aletas:
. - Calor trocado (sem aletas) indicado:
— isto confirma o valor do tubo nu (verificação posterior).
- Comprimento do tubo:
-
Duas propostas de aletas:
- 130 aletas longitudinais:
- Número:
. - Altura (extensão radial):
. - Espessura (axial da aleta):
.
- Número:
- 185 aletas circulares (anulares):
- Número:
. - Altura (extensão radial):
. - Espessura (axial da aleta):
.
- Número:
- 130 aletas longitudinais:
-
O que é pedido:
- Calcular o fluxo de calor total (potência térmica) para cada proposta (com as aletas).
- Indicar qual proposta adotar, considerando custos de instalação iguais.
Observação: o enunciado não pede detalhes de projeto (como resistência mecânica), apenas comparar desempenho térmico. Vou usar a abordagem padrão: total de calor com aletas = calor do tubo exposto restante + soma do calor dissipado por cada aleta. Para as aletas circulares vou usar a aproximação clássica de considerar a aleta anular como uma “aleta retangular” cujo comprimento lateral é a circunferência (explico isso adiante).
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem formalismos exagerados): o calor total com aletas é dado por
onde:
-
é o calor que ainda sai do trecho do tubo não coberto pelas bases das aletas. -
é o calor dissipado por uma única aleta, partindo da base à temperatura .
Para
vou usar a formulação clássica de aleta prismática de seção constante (solução estacionária unidimensional). A derivação que vem a seguir mostra de onde sai a expressão prática usada (é a mesma que cai bem na prova).
Passo 3
Aula compacta sobre a equação da aleta retangular e as quantidades necessárias (síntese didática).
- Conceito: uma aleta de espessura
e “largura” (no nosso caso a largura será — comprimento axial do tubo — para aletas longitudinais, ou a circunferência do tubo para aletas anulares) conduz calor no sentido da raiz da aleta até o ar; na aproximação de seção constante e regime permanente, a equação diferencial conduz a uma solução com parâmetro
onde:
-
é o coeficiente de convecção; -
é o perímetro molhado da seção transversal (para uma placa fina com duas faces expostas ); -
é a área da seção transversal pelo qual ocorre condução (para a placa de espessura e largura , ); -
é a condutividade térmica da aleta. -
Substituindo
e para uma aleta de placa fina (duas faces expostas):
Observação importante: o parâmetro
não depende de
porque
cancela.
- A expressão prática para o calor dissipado por uma aleta de comprimento (altura)
e base a temperatura (com ) é, na forma conveniente usada em problemas de prova,
onde
é a “largura” da aleta (no nosso caso será
para aletas longitudinais e a circunferência do tubo para aletas anulares). Essa forma resulta da combinação
e da solução da ODE da aleta com convecção nas faces e ponta considerada (o fator
aparece naturalmente). Eu mantenho essa fórmula porque é simples e bastante usada em provas.
- Ainda: a área externa do tubo nu é
Quando colocamos as aletas, a área do tubo coberta pelas bases das aletas deixa de participar como área “livre” de convecção; essa área coberta por
aletas é
(para cada aleta a base cobre uma faixa de espessura
e comprimento
) e a área restante é
.
Observação sobre aletas anulares: para aletas circulares (anulares) vou aproximar a aleta por uma placa cuja “largura”
é a circunferência do tubo na raiz:
com
. Esta é uma aproximação padrão e razoável quando a espessura axial
é pequena e a aleta tem faces em contato com o ar ao longo da circunferência.
Passo 4
Verificação rápida do tubo nu (checar coerência com
):
- Área do tubo nu:
- Diferença de temperatura:
. - Calor do tubo nu calculado:
o que está consistente com o valor informado
(pequena diferença por arredondamento). Bom sinal: dados consistentes.
Passo 5
Cálculos detalhados para a proposta 1 — 130 aletas longitudinais.
- Parâmetro
:
- Produto
:
-
- Termo multiplicador
com (largura = comprimento do tubo): - Primeiro calcule
. - Então
.
- Primeiro calcule
- Calor por aleta:
- Calor total das aletas:
- Área coberta no tubo pelas bases das aletas:
- Área restante do tubo:
- Calor do tubo restante:
- Calor total com as aletas longitudinais:
Comentário intuitivo: a razão pela qual o ganho é grande é que as aletas longitudinais têm comprimento efetivo grande (
) e muitas aletas, aumentando enormemente a área exposta ao ar.
Passo 6
Cálculos detalhados para a proposta 2 — 185 aletas circulares (anulares). Vou usar a aproximação explicada: tratar cada anel como uma aleta retangular cuja “largura”
é a circunferência do tubo na raiz
com
.
- Raio do tubo:
. - Circunferência na raiz (largura equivalente):
- Parâmetro
(a mesma fórmula com ):
- Produto
:
-
- Calcule
- Então
- Calor por aleta (anular):
- Calor total das aletas:
- Área coberta no tubo pelas bases das aletas (cada anel tem espessura axial
e comprimento igual à circunferência):
- Área restante do tubo:
- Calor do tubo restante:
- Calor total com as aletas circulares:
Passo 7
Comparação, comentário sobre aproximações e decisão final.
- Resultados numéricos obtidos:
-
(130 aletas longitudinais). -
(185 aletas circulares).
-
- Observações sobre aproximações feitas:
- Para as aletas longitudinais usei a formulação padrão de aleta prismática com largura
. - Para as aletas circulares aproximei o anel por uma placa reta de largura igual à circunferência na raiz; isto é uma aproximação comum e justifica que o parâmetro
fique igual àquele das aletas retangulares (pois cancela na definição de ). - Considerei convecção nas superfícies das aletas (todas as faces) e usei a expressão com
(caso a ponta fosse tratada de forma diferente haveria pequenas modificações, mas o resultado qualitativo permanece o mesmo). - Também considerei que a área do tubo coberta pela base da aleta deixa de participar como área livre de convecção (abordagem padrão).
- Para as aletas longitudinais usei a formulação padrão de aleta prismática com largura
- Conclusão prática: a proposta 1 (aletas longitudinais) fornece a maior dissipação térmica:
contra da proposta 2. Como os custos de instalação são considerados iguais, a escolha óbvia, do ponto de vista térmico, é a proposta 1.
Força final: você saiu de 40 kcal/h para mais de 1000–1700 kcal/h — um salto enorme por causa da grande área extra oferecida pelas aletas. Respira, tá bom — a matemática aqui só mostra que a primeira alternativa é a que remove mais calor.
Resposta
Adotaria a primeira proposta (130 aletas longitudinais), pois apresenta maior dissipação térmica.