Exercício 6.14. Um tubo de aço de 0,65 \mathrm{~m} de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C} na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C} e com coeficiente de película de 5 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, a uma razão de 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica 40 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e 0,002 \mathrm{~m} de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05 \mathrm{~m} de altura e 0,0015 \mathrm{~m} de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados geométricos e físicos:
    • Comprimento do tubo: L=0,65\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do tubo: D=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da superfície externa do tubo: T_s=60^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de película (convecção): h=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
    • Condutividade térmica das aletas: k=40\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
    • Calor trocado (sem aletas) indicado: Q_{\text{sem}}=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} — isto confirma o valor hA\Delta T do tubo nu (verificação posterior).
  • Duas propostas de aletas:
    1. 130 aletas longitudinais:
      • Número: N_1=130.
      • Altura (extensão radial): h_{f1}=0,057\\ \mathrm{m}.
      • Espessura (axial da aleta): t_1=0,002\\ \mathrm{m}.
    2. 185 aletas circulares (anulares):
      • Número: N_2=185.
      • Altura (extensão radial): h_{f2}=0,05\\ \mathrm{m}.
      • Espessura (axial da aleta): t_2=0,0015\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    • Calcular o fluxo de calor total (potência térmica) para cada proposta (com as aletas).
    • Indicar qual proposta adotar, considerando custos de instalação iguais.
Observação: o enunciado não pede detalhes de projeto (como resistência mecânica), apenas comparar desempenho térmico. Vou usar a abordagem padrão: total de calor com aletas = calor do tubo exposto restante + soma do calor dissipado por cada aleta. Para as aletas circulares vou usar a aproximação clássica de considerar a aleta anular como uma “aleta retangular” cujo comprimento lateral é a circunferência (explico isso adiante).

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem formalismos exagerados): o calor total com aletas é dado por
Q_{\text{total}}=Q_{\text{tubo restante}} + N\cdot Q_{\text{aleta}},
onde:
  • Q_{\text{tubo restante}} = h\,A_{\text{rest}}(T_s-T_\infty) é o calor que ainda sai do trecho do tubo não coberto pelas bases das aletas.
  • Q_{\text{aleta}} é o calor dissipado por uma única aleta, partindo da base à temperatura T_s.
Para Q_{\text{aleta}} vou usar a formulação clássica de aleta prismática de seção constante (solução estacionária unidimensional). A derivação que vem a seguir mostra de onde sai a expressão prática usada (é a mesma que cai bem na prova).

Passo 3

Aula compacta sobre a equação da aleta retangular e as quantidades necessárias (síntese didática).
  • Conceito: uma aleta de espessura t e “largura” W (no nosso caso a largura será L — comprimento axial do tubo — para aletas longitudinais, ou a circunferência do tubo para aletas anulares) conduz calor no sentido da raiz da aleta até o ar; na aproximação de seção constante e regime permanente, a equação diferencial conduz a uma solução com parâmetro
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
onde:
  • h é o coeficiente de convecção;
  • P é o perímetro molhado da seção transversal (para uma placa fina com duas faces expostas P=2W);
  • A_c é a área da seção transversal pelo qual ocorre condução (para a placa de espessura t e largura W, A_c=tW);
  • k é a condutividade térmica da aleta.
  • Substituindo P e A_c para uma aleta de placa fina (duas faces expostas):
m=\sqrt{\dfrac{h\cdot 2W}{k\cdot tW}}=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
Observação importante: o parâmetro m não depende de W porque W cancela.
  • A expressão prática para o calor dissipado por uma aleta de comprimento (altura) h_f e base a temperatura T_s (com \theta_b=T_s-T_\infty) é, na forma conveniente usada em problemas de prova,
Q_{\text{aleta}}=W\sqrt{2hk t}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(m h_f),
onde W é a “largura” da aleta (no nosso caso será L para aletas longitudinais e a circunferência do tubo para aletas anulares). Essa forma resulta da combinação \sqrt{hPkA_c}=W\sqrt{2hk t} e da solução da ODE da aleta com convecção nas faces e ponta considerada (o fator \operatorname{tanh} aparece naturalmente). Eu mantenho essa fórmula porque é simples e bastante usada em provas.
  • Ainda: a área externa do tubo nu é
A_{\text{tubo}}=\pi D L.
Quando colocamos as aletas, a área do tubo coberta pelas bases das aletas deixa de participar como área “livre” de convecção; essa área coberta por N aletas é A_{\text{coberta}}=N\cdot t\cdot W (para cada aleta a base cobre uma faixa de espessura t e comprimento W) e a área restante é A_{\text{rest}}=A_{\text{tubo}}-A_{\text{coberta}}.
Observação sobre aletas anulares: para aletas circulares (anulares) vou aproximar a aleta por uma placa cuja “largura” W é a circunferência do tubo na raiz: W=2\pi r_0 com r_0=D/2. Esta é uma aproximação padrão e razoável quando a espessura axial t é pequena e a aleta tem faces em contato com o ar ao longo da circunferência.

Passo 4

Verificação rápida do tubo nu (checar coerência com Q_{\text{sem}}=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}):
  • Área do tubo nu:
A_{\text{tubo}}=\pi D L=\pi\cdot(0,10)\cdot(0,65)=0,065\pi\\ \mathrm{m}^2\approx 0,2042\\ \mathrm{m}^2.
  • Diferença de temperatura: \theta_b=T_s-T_\infty=60-20=40\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Calor do tubo nu calculado:
Q_{\text{sem,calc}}=hA_{\text{tubo}}\theta_b = 5\cdot 0,2042\cdot 40 \approx 40,84\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h},
o que está consistente com o valor informado 40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (pequena diferença por arredondamento). Bom sinal: dados consistentes.

Passo 5

Cálculos detalhados para a proposta 1 — 130 aletas longitudinais.
  • Parâmetro m:
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k t_1}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 5}{40\cdot 0,002}}=\sqrt{\dfrac{10}{0,08}}=\sqrt{125}\approx 11{,}1803\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Produto m h_{f1}:
m h_{f1}=11{,}1803\cdot 0,057\approx 0{,}63728.
  • \operatorname{tanh}(m h_{f1})\approx \operatorname{tanh}(0{,}63728)\approx 0{,}56282.
  • Termo multiplicador W\sqrt{2hk t_1} com W=L (largura = comprimento do tubo):
    • Primeiro calcule \sqrt{2hk t_1}=\sqrt{2\cdot 5\cdot 40\cdot 0,002}=\sqrt{0,8}\approx 0{,}894427.
    • Então W\sqrt{2hk t_1}=L\sqrt{2hk t_1}=0,65\cdot 0{,}894427\approx 0{,}581378.
  • Calor por aleta:
Q_{\text{aleta,1}}=L\sqrt{2hk t_1}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(m h_{f1}) \approx 0{,}581378\cdot 40\cdot 0{,}56282\approx 13{,}081\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\\ \text{(por aleta)}.
  • Calor total das aletas:
Q_{\text{aletas,tot,1}}=N_1\cdot Q_{\text{aleta,1}}=130\cdot 13{,}081\approx 1700{,}5\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Área coberta no tubo pelas bases das aletas:
A_{\text{coberta,1}}=N_1\cdot t_1\cdot L=130\cdot 0,002\cdot 0,65=0,169\\ \mathrm{m}^2.
  • Área restante do tubo:
A_{\text{rest,1}}=A_{\text{tubo}}-A_{\text{coberta,1}}\approx 0,2042035-0,169\approx 0,0352035\\ \mathrm{m}^2.
  • Calor do tubo restante:
Q_{\text{tubo,rest,1}}=hA_{\text{rest,1}}\theta_b=5\cdot 0,0352035\cdot 40\approx 7{,}0407\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Calor total com as aletas longitudinais:
Q_{\text{total,1}}=Q_{\text{aletas,tot,1}}+Q_{\text{tubo,rest,1}}\approx 1700{,}5+7{,}0407\approx 1707{,}6\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Comentário intuitivo: a razão pela qual o ganho é grande é que as aletas longitudinais têm comprimento efetivo grande ( L=0,65\\ \mathrm{m}) e muitas aletas, aumentando enormemente a área exposta ao ar.

Passo 6

Cálculos detalhados para a proposta 2 — 185 aletas circulares (anulares). Vou usar a aproximação explicada: tratar cada anel como uma aleta retangular cuja “largura” W é a circunferência do tubo na raiz W=2\pi r_0 com r_0=D/2.
  • Raio do tubo: r_0=D/2=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Circunferência na raiz (largura equivalente):
W=C=2\pi r_0=2\pi\cdot 0,05\approx 0,314159\\ \mathrm{m}.
  • Parâmetro m (a mesma fórmula com t_2):
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k t_2}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 5}{40\cdot 0,0015}}=\sqrt{\dfrac{10}{0,06}}\approx 12{,}90994\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Produto m h_{f2}:
m h_{f2}=12{,}90994\cdot 0,05\approx 0{,}64550.
  • \operatorname{tanh}(m h_{f2})\approx \operatorname{tanh}(0{,}64550)\approx 0{,}5684.
  • Calcule \sqrt{2hk t_2}=\sqrt{2\cdot 5\cdot 40\cdot 0,0015}=\sqrt{0,6}\approx 0{,}7745967.
  • Então W\sqrt{2hk t_2}=C\cdot 0{,}7745967\approx 0{,}314159\cdot 0{,}7745967\approx 0{,}243766.
  • Calor por aleta (anular):
Q_{\text{aleta,2}}=C\sqrt{2hk t_2}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(m h_{f2}) \approx 0{,}243766\cdot 40\cdot 0{,}5684\approx 5{,}539\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\\ \text{(por aleta)}.
  • Calor total das aletas:
Q_{\text{aletas,tot,2}}=N_2\cdot Q_{\text{aleta,2}}=185\cdot 5{,}539\approx 1024{,}4\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Área coberta no tubo pelas bases das aletas (cada anel tem espessura axial t_2 e comprimento igual à circunferência):
A_{\text{coberta,2}}=N_2\cdot C\cdot t_2=185\cdot 0,314159\cdot 0,0015\approx 0,08715\\ \mathrm{m}^2.
  • Área restante do tubo:
A_{\text{rest,2}}=A_{\text{tubo}}-A_{\text{coberta,2}}\approx 0,2042035-0,08715\approx 0,11705\\ \mathrm{m}^2.
  • Calor do tubo restante:
Q_{\text{tubo,rest,2}}=hA_{\text{rest,2}}\theta_b=5\cdot 0,11705\cdot 40\approx 23{,}4109\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Calor total com as aletas circulares:
Q_{\text{total,2}}=Q_{\text{aletas,tot,2}}+Q_{\text{tubo,rest,2}}\approx 1024{,}4+23{,}4109\approx 1047{,}8\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 7

Comparação, comentário sobre aproximações e decisão final.
  • Resultados numéricos obtidos:
    • Q_{\text{total,1}}\approx 1707{,}6\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (130 aletas longitudinais).
    • Q_{\text{total,2}}\approx 1047{,}8\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (185 aletas circulares).
  • Observações sobre aproximações feitas:
    • Para as aletas longitudinais usei a formulação padrão de aleta prismática com largura W=L.
    • Para as aletas circulares aproximei o anel por uma placa reta de largura igual à circunferência na raiz; isto é uma aproximação comum e justifica que o parâmetro m fique igual àquele das aletas retangulares (pois W cancela na definição de m).
    • Considerei convecção nas superfícies das aletas (todas as faces) e usei a expressão com \operatorname{tanh}(m h_f) (caso a ponta fosse tratada de forma diferente haveria pequenas modificações, mas o resultado qualitativo permanece o mesmo).
    • Também considerei que a área do tubo coberta pela base da aleta deixa de participar como área livre de convecção (abordagem padrão).
  • Conclusão prática: a proposta 1 (aletas longitudinais) fornece a maior dissipação térmica: \approx 1708\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} contra \approx 1048\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} da proposta 2. Como os custos de instalação são considerados iguais, a escolha óbvia, do ponto de vista térmico, é a proposta 1.
Força final: você saiu de 40 kcal/h para mais de 1000–1700 kcal/h — um salto enorme por causa da grande área extra oferecida pelas aletas. Respira, tá bom — a matemática aqui só mostra que a primeira alternativa é a que remove mais calor.

Resposta

Q_{\text{total,1}}\approx 1707{,}6\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (130 aletas longitudinais)
Q_{\text{total,2}}\approx 1047{,}8\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (185 aletas circulares)
Adotaria a primeira proposta (130 aletas longitudinais), pois apresenta maior dissipação térmica.

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