[Exercício 1.6] Concernente às proposições abaixo:
  1. (A+B)^{t}=B^{t}+A^{t};
  2. (-A)^{t}=(A)^{t};
  3. \left(A^{t}\right)^{2}=\left(A^{2}\right)^{t};
  4. Se A B=O, então A=O ou B=O;
  5. \left(k_{1} A\right)\left(k_{2} B\right)=\left(k_{1} k_{2}\right) A B.
    assinale a sequência correta de valores lógicos.
    (a) ( V V V V V )
    (b) ( V F F V V )
    (c) (V F V V F)
    (d) (V F V F V)
    (e) (V F V V F).

Passo 1

O enunciado apresenta cinco proposições envolvendo matrizes e suas transpostas, produto e multiplicação por escalares. O conteúdo aqui é propriedades da transposta (linearidade, troca de produto), existência de zero divisores em matrizes e compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação matricial.

Passo 2

Analisando (A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}: sabemos que a transposta é linear, ou seja,
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t},
e como a soma é comutativa, A^{t}+B^{t}=B^{t}+A^{t}. Logo, a proposição é verdadeira.

Passo 3

Analisando (-A)^{t}=(A)^{t}: pela propriedade da transposta de um múltiplo escalar,
(-A)^{t}=-\,A^{t},
que só coincide com A^{t} se A^{t}=\mathbf{O}. Em geral são diferentes, logo a proposição é falsa.

Passo 4

Analisando \bigl(A^{t}\bigr)^{2}=\bigl(A^{2}\bigr)^{t}: temos
\bigl(A^{t}\bigr)^{2}=A^{t}A^{t} \quad\text{e}\quad (A^{2})^{t}=(AA)^{t}=A^{t}A^{t},
portanto são iguais e a proposição é verdadeira.

Passo 5

Analisando “Se AB=\mathbf{O}, então A=\mathbf{O} ou B=\mathbf{O}”: em anéis de matrizes existem zero divisores, basta escolher
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
para ter AB=\mathbf{O} sem que A ou B sejam nulas. Logo, a proposição é falsa.

Passo 6

Analisando \bigl(k_{1}A\bigr)\bigl(k_{2}B\bigr)=(k_{1}k_{2})AB: pela associatividade de escalares e matrizes,
(k_{1}A)(k_{2}B)=k_{1}k_{2}\,(AB),
então a proposição é verdadeira.

Resposta

(d) V\,F\,V\,F\,V

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